Determine e esboce as componentes pares e ímpares de:
u(t)

Passo 1

O enunciado pedido é: determinar e esboçar as componentes pares e ímpares de u(t). O que foi fornecido no enunciado recebido aqui é apenas a expressão verbal do pedido, mas NÃO foi dada a função u(t) explicitamente (nem uma figura, nem uma tabela, nem uma fórmula). Logo, com os dados que tenho agora, a função u(t) está ausente.

Passo 2

O que o problema pede, em geral, é separar qualquer função u(t) em duas partes: uma parte par u_{\text{e}}(t) e uma parte ímpar u_{\text{o}}(t). As definições que vamos usar são as seguintes:
u_{\text{e}}(t)=\frac{u(t)+u(-t)}{2}, \qquad u_{\text{o}}(t)=\frac{u(t)-u(-t)}{2}.
Essas fórmulas dão, respectivamente, a componente par e a componente ímpar de u(t). Note que ambas as expressões usam u(-t), ou seja, precisamos conhecer u(t) para valores positivos e negativos de t.

Passo 3

Vou mostrar por que essas fórmulas funcionam (uma mini-aula, passo a passo). Suponha que exista uma decomposição
u(t)=e(t)+o(t),
onde e(t) é par e o(t) é ímpar. Por definição de par e ímpar:
e(-t)=e(t),\qquad o(-t)=-o(t).
Agora somando u(t) e u(-t):
u(t)+u(-t)=e(t)+o(t)+e(-t)+o(-t)=e(t)+o(t)+e(t)-o(t)=2e(t).
Dividindo por 2:
e(t)=\frac{u(t)+u(-t)}{2}.
Subtraindo u(-t) de u(t):
u(t)-u(-t)=e(t)+o(t)-e(-t)-o(-t)=e(t)+o(t)-e(t)+o(t)=2o(t),
logo
o(t)=\frac{u(t)-u(-t)}{2}.
Essa dedução mostra também que a decomposição é única: qualquer u(t) (sob condições razoáveis de existência) se escreve de forma única como soma de um par e um ímpar.

Passo 4

Como usar isso na prática (passo a passo operacional que você pode fazer na prova):
  1. Escreva explicitamente u(t).
  2. Substitua t por -t para obter u(-t).
  3. Calcule
u_{\text{e}}(t)=\frac{u(t)+u(-t)}{2} \qquad\text{e}\qquad u_{\text{o}}(t)=\frac{u(t)-u(-t)}{2}.
  1. Simplifique as expressões algébricas; frequentemente termos cancelam e fica fácil de identificar.
  2. Para esboçar: para cada t\ge 0 compute u(t) e u(-t), então plote u_{\text{e}}(t) como a média \tfrac{u(t)+u(-t)}{2} e u_{\text{o}}(t) como a diferença \tfrac{u(t)-u(-t)}{2}. Lembre-se de que u_{\text{e}}(t) é simétrico em torno de t=0 e u_{\text{o}}(t) é antissimétrico (i.e., u_{\text{o}}(-t)=-u_{\text{o}}(t)). Também observe que u_{\text{o}}(0)=0.

Passo 5

Exemplos didáticos (para fixar):
  • Exemplo 1: tome u(t)=t.
    Calcule u(-t)=-t. Então
u_{\text{e}}(t)=\frac{t+(-t)}{2}=0,\qquad u_{\text{o}}(t)=\frac{t-(-t)}{2}=\frac{2t}{2}=t.
Conclusão: t já é função ímpar; componente par nula.
  • Exemplo 2: tome u(t)=t^2.
    Calcule u(-t)=(-t)^2=t^2. Então
u_{\text{e}}(t)=\frac{t^2+t^2}{2}=t^2,\qquad u_{\text{o}}(t)=\frac{t^2-t^2}{2}=0.
Conclusão: t^2 já é função par; componente ímpar nula.
  • Exemplo 3: mistura simples, u(t)=t+t^2.
    Já sabemos dos exemplos anteriores:
u_{\text{e}}(t)=t^2,\qquad u_{\text{o}}(t)=t.
Ou via fórmula direta:
u(-t)=-t+t^2,\quad u_{\text{e}}(t)=\frac{(t+t^2)+(-t+t^2)}{2}=t^2,\quad u_{\text{o}}(t)=\frac{(t+t^2)-(-t+t^2)}{2}=t.

Passo 6

Como esboçar a partir de um gráfico (receita visual):
  • Pegue o gráfico de u(t).
  • Faça uma cópia refletida horizontalmente para obter u(-t).
  • Em cada abscissa t, some as alturas u(t) e u(-t), divida por 2 — isso dá u_{\text{e}}(t). Represente esse valor: será simétrico (mesma forma para t e -t).
  • Em cada t, subtraia u(-t) de u(t) e divida por 2 — isso dá u_{\text{o}}(t). O gráfico resultante será antissimétrico.
  • Verifique u(t)=u_{\text{e}}(t)+u_{\text{o}}(t) em alguns pontos para conferir.

Passo 7

Casos em que é impossível prosseguir sem mais informação:
  • Se u(t) não foi fornecida, não há como calcular numericamente ou desenhar as componentes.
  • Se foi dada somente a metade (por exemplo, somente u(t) para t\ge 0), também não é possível determinar unicamente u_{\text{e}} e u_{\text{o}} sem escolher uma continuação para t<0. Há infinitas funções que coincidem para t\ge 0 e diferem para t<0, levando a decomposições diferentes.

Passo 8

Resumo prático final (como você deve agir quando tiver o enunciado completo na prova):
  • Pegue a fórmula de u(t).
  • Calcule u(-t).
  • Use as fórmulas
u_{\text{e}}(t)=\frac{u(t)+u(-t)}{2},\qquad u_{\text{o}}(t)=\frac{u(t)-u(-t)}{2}.
  • Simplifique e esboce: u_{\text{e}}(t) será simétrica; u_{\text{o}}(t) anti-simétrica; confira em t=0 que u_{\text{o}}(0)=0.

Passo 9

Aplicação ao enunciado recebido aqui: como a função u(t) não foi informada, não há como executar os cálculos nem desenhar os gráficos específicos. Seguindo as instruções acima, assim que a expressão de u(t) estiver disponível, basta aplicar os passos 2–4 para obter as componentes e esboçá-las.

Resposta

Não é possível determinar nem esboçar as componentes pares e ímpares porque a função u(t) não foi fornecida.

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