Determine e esboce as componentes pares e ímpares de:
Passo 1
O enunciado pedido é: determinar e esboçar as componentes pares e ímpares de
. O que foi fornecido no enunciado recebido aqui é apenas a expressão verbal do pedido, mas NÃO foi dada a função
explicitamente (nem uma figura, nem uma tabela, nem uma fórmula). Logo, com os dados que tenho agora, a função
está ausente.
Passo 2
O que o problema pede, em geral, é separar qualquer função
em duas partes: uma parte par
e uma parte ímpar
. As definições que vamos usar são as seguintes:
Essas fórmulas dão, respectivamente, a componente par e a componente ímpar de
. Note que ambas as expressões usam
, ou seja, precisamos conhecer
para valores positivos e negativos de
.
Passo 3
Vou mostrar por que essas fórmulas funcionam (uma mini-aula, passo a passo). Suponha que exista uma decomposição
onde
é par e
é ímpar. Por definição de par e ímpar:
Agora somando
e
:
Dividindo por 2:
Subtraindo
de
:
logo
Essa dedução mostra também que a decomposição é única: qualquer
(sob condições razoáveis de existência) se escreve de forma única como soma de um par e um ímpar.
Passo 4
Como usar isso na prática (passo a passo operacional que você pode fazer na prova):
- Escreva explicitamente
. - Substitua
por para obter . - Calcule
- Simplifique as expressões algébricas; frequentemente termos cancelam e fica fácil de identificar.
- Para esboçar: para cada
compute e , então plote como a média e como a diferença . Lembre-se de que é simétrico em torno de e é antissimétrico (i.e., ). Também observe que .
Passo 5
Exemplos didáticos (para fixar):
- Exemplo 1: tome
.
Calcule. Então
Conclusão:
já é função ímpar; componente par nula.
- Exemplo 2: tome
.
Calcule. Então
Conclusão:
já é função par; componente ímpar nula.
- Exemplo 3: mistura simples,
.
Já sabemos dos exemplos anteriores:
Ou via fórmula direta:
Passo 6
Como esboçar a partir de um gráfico (receita visual):
- Pegue o gráfico de
. - Faça uma cópia refletida horizontalmente para obter
. - Em cada abscissa
, some as alturas e , divida por 2 — isso dá . Represente esse valor: será simétrico (mesma forma para e ). - Em cada
, subtraia de e divida por 2 — isso dá . O gráfico resultante será antissimétrico. - Verifique
em alguns pontos para conferir.
Passo 7
Casos em que é impossível prosseguir sem mais informação:
- Se
não foi fornecida, não há como calcular numericamente ou desenhar as componentes. - Se foi dada somente a metade (por exemplo, somente
para ), também não é possível determinar unicamente e sem escolher uma continuação para . Há infinitas funções que coincidem para e diferem para , levando a decomposições diferentes.
Passo 8
Resumo prático final (como você deve agir quando tiver o enunciado completo na prova):
- Pegue a fórmula de
. - Calcule
. - Use as fórmulas
- Simplifique e esboce:
será simétrica; anti-simétrica; confira em que .
Passo 9
Aplicação ao enunciado recebido aqui: como a função
não foi informada, não há como executar os cálculos nem desenhar os gráficos específicos. Seguindo as instruções acima, assim que a expressão de
estiver disponível, basta aplicar os passos 2–4 para obter as componentes e esboçá-las.
Resposta
Não é possível determinar nem esboçar as componentes pares e ímpares porque a função
não foi fornecida.