Questão 08: Determine se o sistema abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) estável. As respostas devem ser justificadas.
b) h[n]=(1 / 2)^{n} u[n-1]

Passo 1

O enunciado dá o impulso (resposta ao delta) do sistema:
h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-1].
O que se pede: determinar se o sistema é
(i) sem memória (memoryless),
(ii) causal,
(iii) estável (BIBO).
Vou listar as informações explícitas que temos:
  • A função u[n-1] é o degrau unitário deslocado; isto é, u[n-1]=1 para n\ge 1 e u[n-1]=0 para n\le 0.
  • Portanto h[n] só pode ser diferente de zero para n\ge 1, e para esses n vale h[n]=(1/2)^n.

Passo 2

Breve recapitulação das definições que vou usar (com explicação simples):
  • Um sistema é sem memória (memoryless) se, para todo instante n, a saída y[n] depende apenas do valor da entrada x[n] naquele mesmo instante, e não de x em instantes diferentes. Para um sistema linear invariante no tempo (LTI) descrito por h[n] via convolução
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k],
essa condição equivale a exigir que h[k]=0 para todo k\neq 0 (ou seja, o único coeficiente não nulo pode ser h[0]).
  • Um sistema LTI é causal se a saída em n depende somente de valores de entrada em instantes \le n. Em termos de h[n], a condição necessária e suficiente é h[k]=0 para todo k<0. Intuição: se algum h[k] com k<0 for não nulo, aparece x[n-k] com n-k>n, ou seja, dependência de futuro.
  • Um sistema LTI é BIBO-estável se a soma absoluta da resposta ao impulso for finita:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|<\infty.
Intuição: isso garante que uma entrada limitada (|x[n]| \le constante) gera saída limitada.

Passo 3

Testando se o sistema é sem memória.
  • Usando a expressão e a observação do Passo 1, calculemos alguns valores de h[n]:
h[0]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}u[-1]=1\cdot 0=0.
h[1]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}u[0]=\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2}.
  • Viu? h[1] é diferente de zero. Pela condição para um sistema LTI ser sem memória, seria necessário que h[k]=0 para todo k\neq 0. Aqui há coeficientes não nulos para k=1,2,3,\dots.
  • Conclusão (intermediária): o sistema NÃO é sem memória; ele tem memória porque a saída em n depende também de entradas em instantes anteriores ( x[n-1],x[n-2],\ldots).

Passo 4

Testando causalidade.
  • Condição para causalidade (LTI): h[k]=0 para todo k<0.
  • Observando h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-1], sabemos que u[n-1]=0 para todo n\le 0. Assim, para todo k<0 (e também para k=0) vale h[k]=0.
  • Os únicos k em que h[k] pode ser não nulo são k\ge 1. Esses correspondem a termos x[n-k] com n-k\le n-1, ou seja, dependência de entradas em instantes passados ou presentes, nunca de futuros.
  • Conclusão (intermediária): a condição de causalidade é satisfeita, portanto o sistema É causal.

Passo 5

Testando estabilidade (BIBO).
  • Para sistema LTI, calcular
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|.
  • Como h[n]=0 para n\le 0, a soma reduz-se a
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
  • Isso é uma série geométrica com razão r=\tfrac{1}{2}, e a soma de n=1 a \infty é dada por
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r},\quad\text{para }|r|<1.
  • Substituindo r=\tfrac{1}{2} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1,
que é finito.
  • Conclusão (intermediária): a soma absoluta de h[n] é finita, portanto o sistema É BIBO-estável.

Passo 6

Resumo das conclusões (curta intuição final):
  • Não é sem memória porque existem coeficientes h[k]\neq 0 com k\neq 0 (por exemplo h[1]=\tfrac{1}{2}).
  • É causal porque h[k]=0 para todo k<0 (não depende de entrada futura).
  • É estável porque a soma absoluta \sum_{n}|h[n]|=\sum_{n=1}^{\infty}(1/2)^{n}=1<\infty.

Resposta

(i) Não (tem memória)
(ii) Sim (causal)
(iii) Sim (estável)

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