Questão 08: Determine se o sistema abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) estável. As respostas devem ser justificadas.
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá o impulso (resposta ao delta) do sistema:
O que se pede: determinar se o sistema é
(i) sem memória (memoryless),
(ii) causal,
(iii) estável (BIBO).
Vou listar as informações explícitas que temos:
(i) sem memória (memoryless),
(ii) causal,
(iii) estável (BIBO).
Vou listar as informações explícitas que temos:
- A função
é o degrau unitário deslocado; isto é, para e para . - Portanto
só pode ser diferente de zero para , e para esses vale .
Passo 2
Breve recapitulação das definições que vou usar (com explicação simples):
- Um sistema é sem memória (memoryless) se, para todo instante
, a saída depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante, e não de em instantes diferentes. Para um sistema linear invariante no tempo (LTI) descrito por via convolução
essa condição equivale a exigir que
para todo
(ou seja, o único coeficiente não nulo pode ser
).
- Um sistema LTI é causal se a saída em
depende somente de valores de entrada em instantes . Em termos de , a condição necessária e suficiente é para todo . Intuição: se algum com for não nulo, aparece com , ou seja, dependência de futuro. - Um sistema LTI é BIBO-estável se a soma absoluta da resposta ao impulso for finita:
Intuição: isso garante que uma entrada limitada (|x[n]|
constante) gera saída limitada.
Passo 3
Testando se o sistema é sem memória.
- Usando a expressão e a observação do Passo 1, calculemos alguns valores de
:
- Viu?
é diferente de zero. Pela condição para um sistema LTI ser sem memória, seria necessário que para todo . Aqui há coeficientes não nulos para . - Conclusão (intermediária): o sistema NÃO é sem memória; ele tem memória porque a saída em
depende também de entradas em instantes anteriores ( ).
Passo 4
Testando causalidade.
- Condição para causalidade (LTI):
para todo . - Observando
, sabemos que para todo . Assim, para todo (e também para ) vale . - Os únicos
em que pode ser não nulo são . Esses correspondem a termos com , ou seja, dependência de entradas em instantes passados ou presentes, nunca de futuros. - Conclusão (intermediária): a condição de causalidade é satisfeita, portanto o sistema É causal.
Passo 5
Testando estabilidade (BIBO).
- Para sistema LTI, calcular
- Como
para , a soma reduz-se a
- Isso é uma série geométrica com razão
, e a soma de a é dada por
- Substituindo
obtemos
que é finito.
- Conclusão (intermediária): a soma absoluta de
é finita, portanto o sistema É BIBO-estável.
Passo 6
Resumo das conclusões (curta intuição final):
- Não é sem memória porque existem coeficientes
com (por exemplo ). - É causal porque
para todo (não depende de entrada futura). - É estável porque a soma absoluta
.
Resposta
(i) Não (tem memória)
(ii) Sim (causal)
(iii) Sim (estável)
(ii) Sim (causal)
(iii) Sim (estável)