Determine e esboce o domínio de f das seguintes relações:
f(x, y)=\frac{\ln (x y)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar e esboçar o domínio da função
f(x,y)=\frac{\ln(xy)}{x^{2}+y^{2}}.
As informações relevantes que o enunciado dá e as restrições naturais da função são:
  • O numerador é \ln(xy). Para que \ln(\cdot) esteja definido, seu argumento deve ser estritamente positivo: xy>0.
  • O denominador é x^{2}+y^{2}. Não podemos dividir por zero, portanto é necessário x^{2}+y^{2}\neq 0.
    O problema então é encontrar todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} que satisfazem ambas as condições acima e descrever/esboçar essa região no plano.

Passo 2

Entendendo a condição do logaritmo: explicar por que xy>0.
Breve lição: a função natural logaritmo \ln(t) está definida apenas para t>0. Isso é porque \ln(t) é a inversa da função exponencial e^{u}, que só gera valores positivos. Logo, no nosso caso devemos exigir
xy>0.
Interpretação prática dessa desigualdade: o produto de dois números reais é positivo quando os dois têm o mesmo sinal. Portanto as soluções de xy>0 são exatamente os pares (x,y) com
\text{(i) } x>0\\ \text{e}\\ y>0,\quad\text{ou}\quad\text{(ii) } x<0\\ \text{e}\\ y<0.
Observação simples com exemplos:
  • (1,2) satisfaz xy=2>0 → é permitido.
  • (-1,-3) satisfaz xy=3>0 → é permitido.
  • (1,-2) xy=-2<0 → não é permitido.
  • (0,1) xy=0 → não é permitido porque precisamos de >0, não \ge 0.

Passo 3

Entendendo a condição do denominador: explicar por que x^{2}+y^{2}\neq0.
Breve lição: x^{2}+y^{2} é soma de quadrados. Um quadrado é sempre \ge 0. A soma x^{2}+y^{2} só pode ser zero se e somente se ambos os termos forem zero simultaneamente, isto é, se x=0 e y=0. Portanto
x^{2}+y^{2}=0 \iff (x,y)=(0,0).
Como não podemos dividir por zero, devemos excluir o ponto (0,0) do domínio.

Passo 4

Combinar as duas condições.
Temos duas exigências:
xy>0 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}\neq 0.
Mas note um detalhe prático: se xy>0 então não é possível que x=0 ou y=0. Logo (0,0) já está automaticamente excluído pela condição xy>0. Assim a condição do denominador gera nenhuma restrição adicional além de reforçar que a origem é proibida. Concluímos que a única condição efetiva é
xy>0.

Passo 5

Descrever geometricamente e como esboçar o domínio.
Interpretação geométrica: a condição xy>0 corresponde exatamente às regiões do plano onde x e y têm o mesmo sinal. Essas regiões são:
  • primeiro quadrante aberto: \{(x,y): x>0,\\ y>0\};
  • terceiro quadrante aberto: \{(x,y): x<0,\\ y<0\}.
Como esboçar:
  • desenhe os eixos x e y;
  • sombreie o interior do primeiro quadrante (acima do eixo x e à direita do eixo y), sem incluir as linhas dos eixos;
  • sombreie também o interior do terceiro quadrante (abaixo do eixo x e à esquerda do eixo y), sem incluir as linhas dos eixos;
  • as linhas dos eixos x=0 e y=0 e a origem não fazem parte do domínio (fronteira excluída).

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • (2,3) pertence ao domínio porque 2\cdot 3=6>0 e x^{2}+y^{2}\neq0.
  • (-1,-4) pertence ao domínio porque (-1)\cdot(-4)=4>0.
  • (1,-1) não pertence porque 1\cdot(-1)=-1<0.
  • (0,2) não pertence porque 0\cdot 2=0 (o logaritmo não está definido em zero).

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy>0\}=\{(x,y)\mid x>0,\\ y>0\}\cup\{(x,y)\mid x<0,\\ y<0\}
Primeiro e terceiro quadrantes abertos (ou seja, as regiões x>0,y>0 e x<0,y<0), com os eixos e a origem excluídos.

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