Determine e esboce o domínio de
das seguintes relações:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar e esboçar o domínio da função
As informações relevantes que o enunciado dá e as restrições naturais da função são:
- O numerador é
. Para que esteja definido, seu argumento deve ser estritamente positivo: . - O denominador é
. Não podemos dividir por zero, portanto é necessário .
O problema então é encontrar todos os pontosque satisfazem ambas as condições acima e descrever/esboçar essa região no plano.
Passo 2
Entendendo a condição do logaritmo: explicar por que
.
Breve lição: a função natural logaritmo
está definida apenas para
. Isso é porque
é a inversa da função exponencial
, que só gera valores positivos. Logo, no nosso caso devemos exigir
Interpretação prática dessa desigualdade: o produto de dois números reais é positivo quando os dois têm o mesmo sinal. Portanto as soluções de
são exatamente os pares
com
Observação simples com exemplos:
-
satisfaz → é permitido. -
satisfaz → é permitido. -
dá → não é permitido. -
dá → não é permitido porque precisamos de , não .
Passo 3
Entendendo a condição do denominador: explicar por que
.
Breve lição:
é soma de quadrados. Um quadrado é sempre
. A soma
só pode ser zero se e somente se ambos os termos forem zero simultaneamente, isto é, se
e
. Portanto
Como não podemos dividir por zero, devemos excluir o ponto
do domínio.
Passo 4
Combinar as duas condições.
Temos duas exigências:
Mas note um detalhe prático: se
então não é possível que
ou
. Logo
já está automaticamente excluído pela condição
. Assim a condição do denominador gera nenhuma restrição adicional além de reforçar que a origem é proibida. Concluímos que a única condição efetiva é
Passo 5
Descrever geometricamente e como esboçar o domínio.
Interpretação geométrica: a condição
corresponde exatamente às regiões do plano onde
e
têm o mesmo sinal. Essas regiões são:
- primeiro quadrante aberto:
; - terceiro quadrante aberto:
.
Como esboçar:
- desenhe os eixos
e ; - sombreie o interior do primeiro quadrante (acima do eixo
e à direita do eixo ), sem incluir as linhas dos eixos; - sombreie também o interior do terceiro quadrante (abaixo do eixo
e à esquerda do eixo ), sem incluir as linhas dos eixos; - as linhas dos eixos
e e a origem não fazem parte do domínio (fronteira excluída).
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
-
pertence ao domínio porque e . -
pertence ao domínio porque . -
não pertence porque . -
não pertence porque (o logaritmo não está definido em zero).
Resposta
Primeiro e terceiro quadrantes abertos (ou seja, as regiões