Determine e esboce o domínio de
das seguintes relações:
Passo 1
O enunciado dá a função
de duas variáveis
e pede para determinar e esboçar o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
é . - A variável
aparece dentro de . - A variável
aparece em fator multiplicativo linear. - O objetivo é encontrar o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão tem valor real bem definido, e então esboçar esse conjunto no plano .
Passo 2
Entender o que é domínio no caso de função de duas variáveis.
O domínio de
é o conjunto de todos os pares
tais que a expressão que define
está bem definida como número real. Aqui a única possível fonte de problema é
, porque multiplicar por
não cria restrição (qualquer
pode ser multiplicado por um número real).
Portanto, precisamos estudar para quais
a função
está definida como número real.
Passo 3
Propriedade básica de
.
Lembrando que
. Uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero. Logo
está definida exatamente quando
.
Resolver
para encontrar os pontos proibidos:
Esse é o conjunto de todas as abscissas onde
não existe (tem assimíntota vertical).
Passo 4
Concluir quais pares
permanecem no domínio.
Como
é definida se, e somente se,
, e como
pode ser qualquer número real sem criar problemas, o domínio de
é
Em palavras: todos os pontos do plano, exceto as retas verticais cujas abscissas são
.
Passo 5
Escrever o domínio de uma forma alternativa (união de faixas abertas).
Uma forma útil para esboçar é ver o domínio como união de bandas verticais abertas:
Cada faixa
é um conjunto de todos os pontos com abscissa
dentro daquele intervalo aberto e com
arbitrário.
Passo 6
Como esboçar o domínio (instruções passo a passo para desenhar).
- No eixo
marque as abscissas proibidas: que são os pontos . - Desenhe uma reta vertical tracejada em cada uma dessas abscissas (essas retas representam os valores de
excluídos). - O domínio é todo o plano exceto essas retas verticais: ou seja, as regiões entre duas retas consecutivas formam faixas infinitas na direção
, e todas essas faixas estão incluídas (faixas abertas, sem as bordas). - Observe que a configuração se repete periodicamente com período
ao longo do eixo .
Exemplos concretos:
- O ponto
pertence ao domínio porque ; de fato . - O ponto
não pertence ao domínio porque não está definido, mesmo que . (Importante: mesmo quando , a expressão formal usa que é indefinida naquele .)
Passo 7
Comentário final útil para a prova e intuição.
- Em cada faixa aberta entre duas retas excluídas, a função
é bem definida e contínua (pois é contínua ali). - As linhas excluídas correspondem às assíntotas verticais do gráfico da função
, estendidas para todo . - Para responder rapidamente numa prova: diga que o domínio é todos os
com , , e desenhe as retas verticais removidas.