Determine e esboce o domínio de f das seguintes relações:
f(x, y)=2 y \tan (x)

Passo 1

O enunciado dá a função f de duas variáveis
f(x,y)=2y\tan(x)
e pede para determinar e esboçar o domínio de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f é 2y\tan(x).
  • A variável x aparece dentro de \tan(x).
  • A variável y aparece em fator multiplicativo linear.
  • O objetivo é encontrar o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão tem valor real bem definido, e então esboçar esse conjunto no plano (x,y).

Passo 2

Entender o que é domínio no caso de função de duas variáveis.
O domínio de f é o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que a expressão que define f(x,y) está bem definida como número real. Aqui a única possível fonte de problema é \tan(x), porque multiplicar por 2y não cria restrição (qualquer y\in\mathbb{R} pode ser multiplicado por um número real).
Portanto, precisamos estudar para quais x a função \tan(x) está definida como número real.

Passo 3

Propriedade básica de \tan(x).
Lembrando que \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero. Logo \tan(x) está definida exatamente quando \cos(x)\neq 0.
Resolver \cos(x)=0 para encontrar os pontos proibidos:
\cos(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Esse é o conjunto de todas as abscissas onde \tan(x) não existe (tem assimíntota vertical).

Passo 4

Concluir quais pares (x,y) permanecem no domínio.
Como \tan(x) é definida se, e somente se, \cos(x)\neq 0, e como y pode ser qualquer número real sem criar problemas, o domínio de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
Em palavras: todos os pontos do plano, exceto as retas verticais cujas abscissas são x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 5

Escrever o domínio de uma forma alternativa (união de faixas abertas).
Uma forma útil para esboçar é ver o domínio como união de bandas verticais abertas:
\mathrm{Dom}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ \tfrac{\pi}{2}+k\pi\right)\times\mathbb{R}\right).
Cada faixa \left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ \tfrac{\pi}{2}+k\pi\right)\times\mathbb{R} é um conjunto de todos os pontos com abscissa x dentro daquele intervalo aberto e com y arbitrário.

Passo 6

Como esboçar o domínio (instruções passo a passo para desenhar).
  1. No eixo x marque as abscissas proibidas: \ldots,-\tfrac{3\pi}{2}, -\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2},\ldots que são os pontos x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  2. Desenhe uma reta vertical tracejada em cada uma dessas abscissas (essas retas representam os valores de x excluídos).
  3. O domínio é todo o plano exceto essas retas verticais: ou seja, as regiões entre duas retas consecutivas formam faixas infinitas na direção y, e todas essas faixas estão incluídas (faixas abertas, sem as bordas).
  4. Observe que a configuração se repete periodicamente com período \pi ao longo do eixo x.
Exemplos concretos:
  • O ponto (0,1) pertence ao domínio porque 0\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi; de fato f(0,1)=2\cdot 1\cdot \tan(0)=0.
  • O ponto (\tfrac{\pi}{2},0) não pertence ao domínio porque \tan(\tfrac{\pi}{2}) não está definido, mesmo que y=0. (Importante: mesmo quando y=0, a expressão formal usa \tan(x) que é indefinida naquele x.)

Passo 7

Comentário final útil para a prova e intuição.
  • Em cada faixa aberta entre duas retas excluídas, a função f é bem definida e contínua (pois \tan é contínua ali).
  • As linhas excluídas correspondem às assíntotas verticais do gráfico da função x\mapsto\tan(x), estendidas para todo y.
  • Para responder rapidamente numa prova: diga que o domínio é todos os (x,y) com x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}, e desenhe as retas verticais removidas.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\} = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ \tfrac{\pi}{2}+k\pi\right)\times\mathbb{R}\right)

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