Determine e esboce o domínio da função em cada caso.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: a função é
. O que se pede é determinar o domínio (conjunto de pontos
em que
está definida) e esboçar esse domínio. Informação útil dada: o radicando é
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (mini-aula): uma raiz quadrada real
está definida somente quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para
precisarmos de
. Aqui o radicando é
, então debemos impor a condição
Isso garante que o número dentro da raiz não seja negativo e que
seja um número real.
Passo 3
Resolver a desigualdade dada (passo a passo):
A desigualdade é
A desigualdade é
Reorganizando, passo os termos com
e
para o outro lado:
Agora divido ambos os lados por
para colocar na forma padrão de uma elipse:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Interpretação geométrica (mini-aula): a inequação
é a equação de uma elipse centrada na origem. A forma geral de uma elipse centrada na origem é
onde
e
são as semi‑larguras (raios) ao longo dos eixos
e
. Comparando, aqui
e
, logo
Como a desigualdade é
, o domínio inclui o interior e a borda da elipse (ou seja, é a região elíptica fechada).
Passo 5
Interceptos e pontos chave para esboçar (para você desenhar à mão):
- Intercepto em
: colocar em dá . Portanto os extremos em são . Pontos . - Intercepto em
: colocar dá . Portanto os extremos em são . Pontos .
Esses quatro pontos são suficientes para traçar a elipse: ligue suavementea a a e volte a , preenchendo o interior.
Passo 6
Exemplos numéricos para treinar o entendimento:
- Ponto dentro:
. Radicando , logo permitido. - Ponto na fronteira:
. Radicando , raiz dá , permitido (borda). - Ponto fora:
. Radicando , não permitido (fora do domínio).
Esses exemplos ajudam a distinguir interior, borda e exterior.
Passo 7
Como esboçar rapidamente (instruções práticas):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
no eixo e no eixo . - Desenhe uma curva elíptica passando por esses pontos e preencha (sombreie) o interior — a região preenchida é o domínio.
Observação alternativa: a fronteira pode ser parametrizada por
se você quiser plotar com computador.