Determine e esboce o domínio da função em cada caso.
f(x, y)=\sqrt{4-2 x^{2}-y^{2}}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: a função é f(x,y)=\sqrt{4-2x^{2}-y^{2}}. O que se pede é determinar o domínio (conjunto de pontos (x,y) em que f está definida) e esboçar esse domínio. Informação útil dada: o radicando é 4-2x^{2}-y^{2}.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (mini-aula): uma raiz quadrada real \sqrt{\cdot} está definida somente quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para \sqrt{A} precisarmos de A\ge 0. Aqui o radicando é 4-2x^{2}-y^{2}, então debemos impor a condição
4-2x^{2}-y^{2}\ge 0.
Isso garante que o número dentro da raiz não seja negativo e que f(x,y) seja um número real.

Passo 3

Resolver a desigualdade dada (passo a passo):
A desigualdade é
4-2x^{2}-y^{2}\ge 0.
Reorganizando, passo os termos com x e y para o outro lado:
2x^{2}+y^{2}\le 4.
Agora divido ambos os lados por 4 para colocar na forma padrão de uma elipse:
\frac{2x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}\le 1.
Simplificando os coeficientes:
\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}\le 1.

Passo 4

Interpretação geométrica (mini-aula): a inequação
\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}\le 1
é a equação de uma elipse centrada na origem. A forma geral de uma elipse centrada na origem é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\le 1,
onde a e b são as semi‑larguras (raios) ao longo dos eixos x e y. Comparando, aqui a^{2}=2 e b^{2}=4, logo
a=\sqrt{2},\qquad b=2.
Como a desigualdade é \le 1, o domínio inclui o interior e a borda da elipse (ou seja, é a região elíptica fechada).

Passo 5

Interceptos e pontos chave para esboçar (para você desenhar à mão):
  • Intercepto em x: colocar y=0 em \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}\le 1 x^{2}\le 2. Portanto os extremos em x são x=\pm\sqrt{2}. Pontos (\pm\sqrt{2},0).
  • Intercepto em y: colocar x=0 y^{2}\le 4. Portanto os extremos em y são y=\pm 2. Pontos (0,\pm 2).
    Esses quatro pontos são suficientes para traçar a elipse: ligue suavemente (-\sqrt{2},0) a (0,2) a (\sqrt{2},0) a (0,-2) e volte a (-\sqrt{2},0), preenchendo o interior.

Passo 6

Exemplos numéricos para treinar o entendimento:
  • Ponto dentro: (0,0). Radicando 4-0-0=4\ge0, logo permitido.
  • Ponto na fronteira: (\sqrt{2},0). Radicando 4-2(\sqrt{2})^{2}-0=4-4=0, raiz dá 0, permitido (borda).
  • Ponto fora: (2,0). Radicando 4-2\cdot 4-0=4-8=-4<0, não permitido (fora do domínio).
    Esses exemplos ajudam a distinguir interior, borda e exterior.

Passo 7

Como esboçar rapidamente (instruções práticas):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (\pm\sqrt{2},0) no eixo x e (0,\pm2) no eixo y.
  3. Desenhe uma curva elíptica passando por esses pontos e preencha (sombreie) o interior — a região preenchida é o domínio.
    Observação alternativa: a fronteira pode ser parametrizada por
x=\sqrt{2}\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
se você quiser plotar com computador.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4-2x^{2}-y^{2}\ge 0\}
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}\le 1\right\}

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