a) ( 10 pontos) Faça o gráfico da função g(t).
b) ( 10 pontos) Descreva a função g(t) com o auxílio de funções degraus apropriadas.
c) ( 10 pontos) Calcule a transformada de Laplace da função g(t).
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por pedaços e pede três coisas:
Observe que a função está especificada para t\ge0\] (que é o que interessa para Laplace). No intervalo \([0,1) é constante; em [1,4) e [4,5) é linear; em [5,\infty) é constante.
Passo 2
Como traçar o gráfico de g(t) (orientações e pontos-chave):
Em [0,1): g(t)=5. É uma reta horizontal com valor 5. Em t=0 a função vale 5. Como em t=1 a definição do próximo ramo também dá 5, existe continuidade em t=1.
Em [1,4): g(t)=6-t. É uma reta decrescente de inclinação -1. Em t=1 tem valor 6-1=5 (casamento com o ramo anterior). Em t\to4^- o valor é 6-4=2. No ponto t=4 este ramo é aberto (porque tem t<4).
Em [4,5): g(t)=4-t. É uma reta decrescente de inclinação -1. Em t=4 ela vale 4-4=0 (este ponto está incluído: 4\le t). Em t\to5^- vale 4-5=-1.
Em [5,\infty): g(t)=-1 (constante). Em t=5 esse ramo dá -1; o ramo anterior tem limite -1 quando t\to5^-, então a função é contínua em t=5.
Descrição para desenhar (passo a passo):
Desenhar eixo t horizontal e g vertical.
Para 0\le t<1 desenhar uma linha horizontal em g=5.
Em t=1 continuar por uma reta com inclinação -1 até t=4; nessa reta o valor vai de 5 (em t=1) até 2 (em t\to4^-); marcar em t=4 um círculo aberto em g=2 (pois o segundo ramo não inclui t=4).
Em t=4 marcar o ponto incluído g(4)=0 (braço do terceiro ramo começa aqui em g=0); a partir de t=4 traçar uma reta de inclinação -1 até t=5, onde atinge g=-1.
Para t\ge5 desenhar linha horizontal em g=-1. Em t=5 o valor está incluído e coincide com o limite à esquerda.
Resumo dos pontos para marcar: (0,5) (início), (1,5) (continuidade), (4,0) (valor do terceiro ramo), (4,2) (valor à esquerda do segundo ramo — marcar aberto), (5,-1) (continuidade). Isso permite traçar o gráfico exato pedido.
Passo 3
Explicar a função degrau (Heaviside) e como usá-la:
A função degrau atrelada ao ponto a\) é \(\,u(t-a)\,\), definida por
\[u(t-a)=\begin{cases}0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a.\end{cases}
Usamos u(t-a)\] para “ligar” ou “desligar” pedaços da função a partir de \(t=a. Uma maneira direta de escrever uma função por trechos com degraus é multiplicar cada expressão pelo indicador do seu intervalo, que pode ser escrito como diferenças de degraus.
Passo 4
Construção de g(t) com degraus (escolha natural usando indicadores de intervalo):
Cada pedaço pode ser escrito ativando a sua expressão somente no intervalo apropriado. Para t\ge0:
Verificação rápida em cada intervalo: substituindo t em cada termo vemos que apenas o termo correspondente ao intervalo contribui, reproduzindo exatamente a definição por trechos dada no enunciado.
Passo 5
Definição da transformada de Laplace e estratégia de cálculo:
A transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge0) é
para valores de s que tornem a integral convergente. Aqui vamos calcular diretamente a integral por pedaços, somando as integrais nos intervalos [0,1),[1,4),[4,5),[5,\infty).
(a) Gráfico: para 0\le t<1 reta horizontal g(t)=5; para 1\le t<4 reta decrescente g(t)=6-t (vale 5 em t=1, vai a 2 quando t\to4^-, marcar (4,2) aberto); em t=4 valor g(4)=0 (ponto incluído); para 4\le t<5 reta decrescente g(t)=4-t que atinge -1 quando t\to5^-; para t\ge5 reta horizontal g(t)=-1.
(b) \displaystyle g(t)=5\bigl(1-u(t-1)\bigr)+(6-t)\bigl(u(t-1)-u(t-4)\bigr)+(4-t)\bigl(u(t-4)-u(t-5)\bigr)-u(t-5).
(c) \displaystyle \mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{5}{s}-\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{2e^{-4s}}{s}+\frac{e^{-5s}}{s^2}.