( 30 pontos) Considere a função
g(t)= \begin{cases}5, & 0 \leq t<1 \\\\ 6-t, & 1 \leq t<4 \\\\ 4-t, & 4 \leq t<5 \\\\ -1, & t \geq 5\end{cases}
a) ( 10 pontos) Faça o gráfico da função g(t).
b) ( 10 pontos) Descreva a função g(t) com o auxílio de funções degraus apropriadas.
c) ( 10 pontos) Calcule a transformada de Laplace da função g(t).

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por pedaços e pede três coisas:
  • (a) fazer o gráfico de [g(t));
  • (b) descrever g(t) usando funções degrau (Heaviside);
  • (c) calcular a transformada de Laplace de g(t).
As informações fornecidas sobre g(t) são:
g(t)= \begin{cases}5, & 0 \leq t<1 \\\\ 6-t, & 1 \leq t<4 \\\\ 4-t, & 4 \leq t<5 \\\\ -1, & t \geq 5\end{cases}
Pontos importantes (retirados diretamente do enunciado):
g(0)=5,\quad g(1)=6-1=5,\quad g(4)=4-4=0,\quad g(5)=-1.
Observe que a função está especificada para t\ge0\] (que é o que interessa para Laplace). No intervalo \([0,1) é constante; em [1,4) e [4,5) é linear; em [5,\infty) é constante.

Passo 2

Como traçar o gráfico de g(t) (orientações e pontos-chave):
  • Em [0,1): g(t)=5. É uma reta horizontal com valor 5. Em t=0 a função vale 5. Como em t=1 a definição do próximo ramo também dá 5, existe continuidade em t=1.
  • Em [1,4): g(t)=6-t. É uma reta decrescente de inclinação -1. Em t=1 tem valor 6-1=5 (casamento com o ramo anterior). Em t\to4^- o valor é 6-4=2. No ponto t=4 este ramo é aberto (porque tem t<4).
  • Em [4,5): g(t)=4-t. É uma reta decrescente de inclinação -1. Em t=4 ela vale 4-4=0 (este ponto está incluído: 4\le t). Em t\to5^- vale 4-5=-1.
  • Em [5,\infty): g(t)=-1 (constante). Em t=5 esse ramo dá -1; o ramo anterior tem limite -1 quando t\to5^-, então a função é contínua em t=5.
Descrição para desenhar (passo a passo):
  1. Desenhar eixo t horizontal e g vertical.
  2. Para 0\le t<1 desenhar uma linha horizontal em g=5.
  3. Em t=1 continuar por uma reta com inclinação -1 até t=4; nessa reta o valor vai de 5 (em t=1) até 2 (em t\to4^-); marcar em t=4 um círculo aberto em g=2 (pois o segundo ramo não inclui t=4).
  4. Em t=4 marcar o ponto incluído g(4)=0 (braço do terceiro ramo começa aqui em g=0); a partir de t=4 traçar uma reta de inclinação -1 até t=5, onde atinge g=-1.
  5. Para t\ge5 desenhar linha horizontal em g=-1. Em t=5 o valor está incluído e coincide com o limite à esquerda.
Resumo dos pontos para marcar: (0,5) (início), (1,5) (continuidade), (4,0) (valor do terceiro ramo), (4,2) (valor à esquerda do segundo ramo — marcar aberto), (5,-1) (continuidade). Isso permite traçar o gráfico exato pedido.

Passo 3

Explicar a função degrau (Heaviside) e como usá-la:
  • A função degrau atrelada ao ponto a\) é \(\,u(t-a)\,\), definida por \[u(t-a)=\begin{cases}0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a.\end{cases}
Usamos u(t-a)\] para “ligar” ou “desligar” pedaços da função a partir de \(t=a. Uma maneira direta de escrever uma função por trechos com degraus é multiplicar cada expressão pelo indicador do seu intervalo, que pode ser escrito como diferenças de degraus.

Passo 4

Construção de g(t) com degraus (escolha natural usando indicadores de intervalo):
Cada pedaço pode ser escrito ativando a sua expressão somente no intervalo apropriado. Para t\ge0:
g(t)=5\bigl(1-u(t-1)\bigr)+(6-t)\bigl(u(t-1)-u(t-4)\bigr)+(4-t)\bigl(u(t-4)-u(t-5)\bigr)+(-1)\,u(t-5).
Explicação de cada termo:
  • 5(1-u(t-1)) 5 para 0\le t<1 e 0 para t\ge1.
  • (6-t)(u(t-1)-u(t-4)) 6-t apenas em 1\le t<4.
  • (4-t)(u(t-4)-u(t-5)) 4-t apenas em 4\le t<5.
  • (-1)u(t-5) -1 para t\ge5.
Verificação rápida em cada intervalo: substituindo t em cada termo vemos que apenas o termo correspondente ao intervalo contribui, reproduzindo exatamente a definição por trechos dada no enunciado.

Passo 5

Definição da transformada de Laplace e estratégia de cálculo:
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge0) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
para valores de s que tornem a integral convergente. Aqui vamos calcular diretamente a integral por pedaços, somando as integrais nos intervalos [0,1),[1,4),[4,5),[5,\infty).

Passo 6

Escrever a integral somada por trechos:
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{1}5e^{-st}\,dt+\int_{1}^{4}(6-t)e^{-st}\,dt+\int_{4}^{5}(4-t)e^{-st}\,dt+\int_{5}^{\infty}(-1)e^{-st}\,dt.
Vamos calcular cada uma separadamente e depois somar.

Passo 7

Calcular a primeira integral (pedaço constante em [0,1]):
\int_{0}^{1}5e^{-st}\,dt=5\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt=5\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{1}=5\cdot\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 8

Calcular a segunda integral \displaystyle \int_{1}^{4}(6-t)e^{-st}\,dt. Separe em duas integrais:
\int_{1}^{4}6e^{-st}\,dt- \int_{1}^{4}t e^{-st}\,dt.
A primeira parte:
6\int_{1}^{4}e^{-st}\,dt=6\cdot\frac{e^{-s}-e^{-4s}}{s}.
A segunda parte usa integração por partes para \int t e^{-st}\,dt. Tomando u=t, dv=e^{-st}dt \Rightarrow du=dt, v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Assim
\int t e^{-st}\,dt=-\frac{t}{s}e^{-st}-\frac{1}{s^2}e^{-st}+C.
Avaliada de 1 a 4:
\int_{1}^{4}t e^{-st}\,dt=\left[-\frac{t}{s}e^{-st}-\frac{1}{s^2}e^{-st}\right]_{1}^{4} = -\left(\frac{4}{s}+\frac{1}{s^2}\right)e^{-4s} + \left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\right)e^{-s}.
Subtraindo as duas partes:
\int_{1}^{4}(6-t)e^{-st}\,dt =6\cdot\frac{e^{-s}-e^{-4s}}{s} -\Bigg[-\left(\frac{4}{s}+\frac{1}{s^2}\right)e^{-4s} + \left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\right)e^{-s}\Bigg].
Agrupando termos em e^{-s} e e^{-4s} obtemos (já simplificando):
\int_{1}^{4}(6-t)e^{-st}\,dt = e^{-s}\!\left(\frac{5}{s}-\frac{1}{s^2}\right)+ e^{-4s}\!\left(-\frac{2}{s}+\frac{1}{s^2}\right).

Passo 9

Calcular a terceira integral \displaystyle \int_{4}^{5}(4-t)e^{-st}\,dt. De novo separamos:
4\int_{4}^{5}e^{-st}\,dt - \int_{4}^{5}t e^{-st}\,dt.
A primeira parte:
4\cdot\frac{e^{-4s}-e^{-5s}}{s}.
A segunda parte usando a primitiva já encontrada:
\int_{4}^{5}t e^{-st}\,dt=\left[-\frac{t}{s}e^{-st}-\frac{1}{s^2}e^{-st}\right]_{4}^{5} = -\left(\frac{5}{s}+\frac{1}{s^2}\right)e^{-5s} + \left(\frac{4}{s}+\frac{1}{s^2}\right)e^{-4s}.
Subtraindo:
\int_{4}^{5}(4-t)e^{-st}\,dt =4\cdot\frac{e^{-4s}-e^{-5s}}{s} -\Big[-\left(\frac{5}{s}+\frac{1}{s^2}\right)e^{-5s} + \left(\frac{4}{s}+\frac{1}{s^2}\right)e^{-4s}\Big].
Simplificando os coeficientes dos expoentes obtemos:
\int_{4}^{5}(4-t)e^{-st}\,dt = -\frac{e^{-4s}}{s^2} + e^{-5s}\!\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\right).

Passo 10

Calcular a quarta integral (constante em [5,\infty)):
\int_{5}^{\infty}(-1)e^{-st}\,dt = -\int_{5}^{\infty}e^{-st}\,dt = -\frac{e^{-5s}}{s}.

Passo 11

Somar as quatro parcelas A+B+C+D (resultados dos passos 7, 8, 9, 10) e simplificar:
  • Parcela sem exponenciais (de A): \dfrac{5}{s}.
  • Coeficiente de e^{-s}: de A e B aparece -\dfrac{5}{s} + \left(\dfrac{5}{s}-\dfrac{1}{s^2}\right) que simplifica para -\dfrac{1}{s^2}.
  • Coeficiente de e^{-4s}: de B e C aparece \left(-\dfrac{2}{s}+\dfrac{1}{s^2}\right) + \left(-\dfrac{1}{s^2}\right) que simplifica para -\dfrac{2}{s}.
  • Coeficiente de e^{-5s}: de C e D aparece \left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^2}\right) - \dfrac{1}{s} que simplifica para \dfrac{1}{s^2}.
Portanto, a transformada final é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{5}{s}-\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{2e^{-4s}}{s}+\frac{e^{-5s}}{s^2}.

Resposta

(a) Gráfico: para 0\le t<1 reta horizontal g(t)=5; para 1\le t<4 reta decrescente g(t)=6-t (vale 5 em t=1, vai a 2 quando t\to4^-, marcar (4,2) aberto); em t=4 valor g(4)=0 (ponto incluído); para 4\le t<5 reta decrescente g(t)=4-t que atinge -1 quando t\to5^-; para t\ge5 reta horizontal g(t)=-1.
(b) \displaystyle g(t)=5\bigl(1-u(t-1)\bigr)+(6-t)\bigl(u(t-1)-u(t-4)\bigr)+(4-t)\bigl(u(t-4)-u(t-5)\bigr)-u(t-5).
(c) \displaystyle \mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{5}{s}-\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{2e^{-4s}}{s}+\frac{e^{-5s}}{s^2}.

Exercícios relacionados