Determine e esboce o domínio da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2x - y}} + \sqrt{y - x^2} $. Isso está ligado à matéria de funções multivariáveis e, especialmente, ao conceito de domínio de uma função. Para resolver, precisamos garantir que todas as expressões dentro das raízes quadradas sejam não negativas e que o denominador não seja zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função: $ \frac{1}{\sqrt{2x - y}} $. Para que essa expressão seja válida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior que zero (porque a raiz de um número negativo não é um número real e, além disso, o denominador não pode ser zero). Então, temos:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da função: $ \sqrt{y - x^2} $. Aqui, o que está dentro da raiz quadrada também precisa ser maior ou igual a zero, pois a raiz de zero é zero e válida. Assim:
Ou seja:
Passo 4
Resumindo as duas condições que encontramos:
- $ y < 2x $
- $ y \geq x^2 $
Para determinar o domínio da função, precisamos encontrar todos os pares
que satisfazem essas duas desigualdades ao mesmo tempo.
Passo 5
Vamos visualizar isso no plano cartesiano. A primeira inequação $ y < 2x $ representa a região abaixo da reta que passa pela origem com inclinação 2. A segunda inequação $ y \geq x^2 $ representa a região acima ou na parábola $ y = x^2 $.
Passo 6
O domínio da função será a interseção dessas duas regiões. Isso significa que queremos os pontos onde $ y $ está acima ou na parábola $ y = x^2 $ e, ao mesmo tempo, abaixo da reta $ y = 2x $.
Passo 7
Para esboçar o domínio, desenhamos a parábola $ y = x^2 $ e a reta $ y = 2x $ no mesmo gráfico. A área do domínio será o conjunto de pontos que estão entre essas duas curvas, onde $ y $ está maior ou igual a $ x^2 $ e menor que $ 2x $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2x - y}} + \sqrt{y - x^2} $ é o conjunto de todos os pares
tais que $ y \geq x^2 $ e $ y < 2x $. No gráfico, isso corresponde à região entre a parábola $ y = x^2 $ e a reta $ y = 2x $.