Determine e esboce o domínio da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio de
e (2) esboçar (descrever) esse domínio no plano
. As informações relevantes que temos são o numerador
e o denominador
. A definição de domínio de uma função racional exige que o denominador não seja zero. Não vamos resolver ainda, só estamos organizando o que foi pedido.
Passo 2
Vamos começar identificando onde o denominador é zero. Observe que
Portanto o denominador anula quando
ou
, isto é, quando
A condição para que a função esteja bem definida é que o denominador seja diferente de zero, logo devemos excluir todos os pares
tais que
.
Passo 3
Escrevendo a condição do domínio de forma imediata:
Geometricamente, a igualdade
corresponde às duas retas diagonais
e
. Assim, por enquanto concluímos que o domínio é o plano
com essas duas retas removidas. Vou detalhar a simplificação algébrica que explica por que essas retas são os pontos proibidos.
Passo 4
Fatoramos o numerador também usando diferença de quadrados duas vezes:
Enquanto
podemos simplificar o fator comum no numerador e no denominador:
Explicando didaticamente: a cancelamento só é válido nos pontos onde o denominador é diferente de zero; nos pontos em que
a expressão original é do tipo
e, portanto, indefinida.
Passo 5
Comentário sobre os pontos excluídos (para entender o que acontece na prova): em qualquer ponto
(ou
) o numerador e o denominador anulam-se simultaneamente, então a expressão original não está definida ali. Se aproximarmos um ponto numa dessas retas por pontos fora das retas, usamos a forma simplificada
, que é contínua, e o limite ao aproximar um ponto
é
. Assim esses zeros do denominador são singularidades removíveis — podemos estender a função continuamente atribuindo
(ou
) — mas isso daria outra função; o domínio da função dada originalmente exclui essas retas.
Passo 6
Descrição geométrica para o esboço: o domínio é o plano
inteiro, exceto as duas retas que passam pela origem com inclinação
e
. Ou seja, pegue o plano cartesiano e risque (remova) a reta que faz
com o eixo
(
) e a reta que faz
(
). Em todas as outras regiões (quatro setores) a função vale
.
Resposta
Domínio:
Esboço: plano com as retas e
removidas (quatro setores restantes onde
).
Esboço: plano com as retas