Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y)=\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}-y^{2}}
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio de f e (2) esboçar (descrever) esse domínio no plano (x,y). As informações relevantes que temos são o numerador x^{4}-y^{4} e o denominador x^{2}-y^{2}. A definição de domínio de uma função racional exige que o denominador não seja zero. Não vamos resolver ainda, só estamos organizando o que foi pedido.

Passo 2

Vamos começar identificando onde o denominador é zero. Observe que
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Portanto o denominador anula quando x-y=0 ou x+y=0, isto é, quando
y=x \quad\text{ou}\quad y=-x.
A condição para que a função esteja bem definida é que o denominador seja diferente de zero, logo devemos excluir todos os pares (x,y) tais que x^{2}-y^{2}=0.

Passo 3

Escrevendo a condição do domínio de forma imediata:
x^{2}-y^{2}\neq 0 \iff x^{2}\neq y^{2}.
Geometricamente, a igualdade x^{2}=y^{2} corresponde às duas retas diagonais y=x e y=-x. Assim, por enquanto concluímos que o domínio é o plano \mathbb{R}^{2} com essas duas retas removidas. Vou detalhar a simplificação algébrica que explica por que essas retas são os pontos proibidos.

Passo 4

Fatoramos o numerador também usando diferença de quadrados duas vezes:
x^{4}-y^{4}=(x^{2})^{2}-(y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}).
Enquanto x^{2}-y^{2}\neq 0 podemos simplificar o fator comum no numerador e no denominador:
f(x,y)=\frac{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})}{x^{2}-y^{2}}=x^{2}+y^{2}, \qquad\text{para }x^{2}-y^{2}\neq 0.
Explicando didaticamente: a cancelamento só é válido nos pontos onde o denominador é diferente de zero; nos pontos em que x^{2}-y^{2}=0 a expressão original é do tipo 0/0 e, portanto, indefinida.

Passo 5

Comentário sobre os pontos excluídos (para entender o que acontece na prova): em qualquer ponto (a,a) (ou (a,-a)) o numerador e o denominador anulam-se simultaneamente, então a expressão original não está definida ali. Se aproximarmos um ponto numa dessas retas por pontos fora das retas, usamos a forma simplificada x^{2}+y^{2}, que é contínua, e o limite ao aproximar um ponto (a,a) é 2a^{2}. Assim esses zeros do denominador são singularidades removíveis — podemos estender a função continuamente atribuindo f(a,a)=2a^{2} (ou f(a,-a)=2a^{2}) — mas isso daria outra função; o domínio da função dada originalmente exclui essas retas.

Passo 6

Descrição geométrica para o esboço: o domínio é o plano \mathbb{R}^{2} inteiro, exceto as duas retas que passam pela origem com inclinação 1 e -1. Ou seja, pegue o plano cartesiano e risque (remova) a reta que faz 45^\circ com o eixo x ( y=x) e a reta que faz -45^\circ ( y=-x). Em todas as outras regiões (quatro setores) a função vale x^{2}+y^{2}.

Resposta

Domínio: \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}\neq y^{2}\}=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(x,y)\mid y=x\\ \text{ou}\\ y=-x\}.
Esboço: plano com as retas y=x e y=-x removidas (quatro setores restantes onde f(x,y)=x^{2}+y^{2}).

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