Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas: a fórmula da superfície .
Objetivo claro: desenhar (esboçar) a superfície no espaço e entender suas características principais (pontos notáveis, curvas de nível, se abre para cima/baixo em certas direções, etc.). Não começamos a resolver ainda — só identifiquei o pedido e os dados.
Informações dadas: a fórmula da superfície
Objetivo claro: desenhar (esboçar) a superfície no espaço
Passo 2
Entender que tipo de superfície é
.
- Primeiro escrevemos a função como uma superfície no espaço:
. Isso significa que para cada ponto no plano, o valor de é . O domínio é todo o plano . - Observe duas seções imediatas (essas são fatias do sólido que ajudam a visualizar): quando
a superfície fica (uma parábola em -plano que abre para cima). Quando a superfície fica (uma parábola em -plano que abre para baixo). Esses dois factos já sugerem que em direções diferentes a curvatura tem sinais opostos — isso produz uma “sela” (saddle).
Passo 3
Curvas de nível (projeção no plano
) — por que são úteis e como calculá-las.
- Curvas de nível são equações
com fixo. Elas mostram a projeção no plano dos pontos da superfície com a mesma altura . - Caso
obtemos . Ou seja, a curva de nível são as duas retas e (essas serão as assíntotas das hipérboles abaixo). - Caso
obtemos , que são hipérboles com ramos voltados ao longo do eixo (as assíntotas são ). Por exemplo, para temos a hipérbole . - Caso
obtemos hipérboles com ramos voltados ao longo do eixo (por exemplo ).
Desenhe no planoalgumas curvas de nível: retas (para ), uma hipérbole com ramos ao longo de (para ), e uma hipérbole com ramos ao longo de (para ). Isso ajuda a ver onde a superfície tem altura positiva/negativa.
Passo 4
Seções por planos paralelos aos eixos (fatias que facilitam o esboço):
- Se fixamos
(um plano paralelo ao eixo ), obtemos . Para cada isso é uma parábola em que abre para cima e cujo vértice fica em . À medida que cresce, a parábola desloca-se para baixo (vértice mais negativo). Exemplo prático: para a seção é (vértice em ). - Se fixamos
(um plano paralelo ao eixo ), obtemos . Para cada isso é uma parábola em que abre para baixo, com vértice em . Exemplo: para a seção é (vértice em ).
Conclusão concreta: ao cortar a superfície por planos verticais paralelos aobtemos parábolas para cima; por planos verticais paralelos a obtemos parábolas para baixo. Essa mistura cria a forma de sela.
Passo 5
Mostre a transformação de coordenadas que torna a forma mais evidente (ajuda visual):
- Defina
e . Então podemos inverter: , . Substituindo em dá:
- Logo, em coordenadas
a superfície é simplesmente . Isso é útil porque mostra claramente que se fixarmos a função varia linearmente em (e vice-versa), e que as curvas de nível são (hipérboles no plano ). Visualmente, a superfície é a mesma sela, rotacionada por 45º no plano . Essa mudança explica por que as linhas aparecem naturalmente como divisoras entre regiões com sinal de .
Passo 6
Pontos e sinais concretos — marque alguns pontos para orientar o desenho:
- Ponto
: origem — é ponto crítico (vértice da sela). - Pontos sobre o eixo
: , (acima do plano ). À medida que aumenta com , cresce quadráticamente. - Pontos sobre o eixo
: , (abaixo do plano ). - Pontos na curva de nível
: por exemplo e (esses pertencem às retas ).
Marque esses pontos no esboço 3D: eles ajudam a mostrar que a superfície sobe no sentido do eixoe desce no sentido do eixo .
Passo 7
Como montar o esboço passo a passo (receita prática para a prova):
- Desenhe os três eixos:
(para a direita), (para a esquerda/afastando-se) e vertical. - No plano
desenhe a parábola (abre para cima) atravessando a origem. - No plano
desenhe a parábola (abre para baixo) atravessando a origem. Essas duas parábolas cruzam-se numa “cruz” e indicam a direção da sela. - Desenhe as retas projetadas
no plano — serão a projeção de . - Entre essas direções, desenhe as hipérboles de nível: para alturas positivas a superfície sobe em ramos voltados ao longo do eixo
; para alturas negativas a superfície desce em ramos voltados ao longo do eixo . Use linhas curvas suaves conectando as parábolas que você desenhou. - Indique que a origem é um ponto de sela: ao andar ao longo do eixo
passamos por um mínimo local (curvatura para cima), e ao andar ao longo do eixo passamos por um máximo local (curvatura para baixo).
Passo 8
Propriedades formais úteis (para lembrar na prova):
- Gradiente:
. Na origem a derivada é nula (ponto crítico). - Hessiana (matriz das segundas derivadas) é
, que tem autovalores de sinais opostos (indefinida) → ponto de sela. - Curvas de nível e seções já descritas resumem o comportamento global: superfície indefinida que cresce indefinidamente quando
e decresce indefinidamente quando .]
Resposta
Paraboloide hiperbólico (sela):
. Curvas de nível
(para
: retas
; para
: hipérboles com ramos ao longo de
; para
: hipérboles com ramos ao longo de
). Seções:
(parábola para cima) e
(parábola para baixo). Ponto crítico
é sela.