Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=x^{2}-y^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função \;f(x,y)=x^{2}-y^{2}\;.
Informações dadas: a fórmula da superfície \;z=f(x,y)=x^{2}-y^{2}\;.
Objetivo claro: desenhar (esboçar) a superfície no espaço (x,y,z) e entender suas características principais (pontos notáveis, curvas de nível, se abre para cima/baixo em certas direções, etc.). Não começamos a resolver ainda — só identifiquei o pedido e os dados.

Passo 2

Entender que tipo de superfície é \;z=x^{2}-y^{2}\;.
  • Primeiro escrevemos a função como uma superfície no espaço: \;z=x^{2}-y^{2}\;. Isso significa que para cada ponto (x,y) no plano, o valor de z é x^{2}-y^{2}. O domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2}.
  • Observe duas seções imediatas (essas são fatias do sólido que ajudam a visualizar): quando \;y=0\; a superfície fica \;z=x^{2}\; (uma parábola em xz-plano que abre para cima). Quando \;x=0\; a superfície fica \;z=-y^{2}\; (uma parábola em yz-plano que abre para baixo). Esses dois factos já sugerem que em direções diferentes a curvatura tem sinais opostos — isso produz uma “sela” (saddle).

Passo 3

Curvas de nível (projeção no plano xy) — por que são úteis e como calculá-las.
  • Curvas de nível são equações \;x^{2}-y^{2}=c\; com c fixo. Elas mostram a projeção no plano xy dos pontos da superfície com a mesma altura z=c.
  • Caso \;c=0\; obtemos \;x^{2}-y^{2}=0\Rightarrow x^{2}=y^{2}\Rightarrow y=\pm x. Ou seja, a curva de nível z=0 são as duas retas \;y=x\; e \;y=-x\; (essas serão as assíntotas das hipérboles abaixo).
  • Caso \;c>0\; obtemos \;x^{2}-y^{2}=c\;, que são hipérboles com ramos voltados ao longo do eixo x (as assíntotas são \;y=\pm x). Por exemplo, para \;c=1\; temos a hipérbole \;x^{2}-y^{2}=1\;.
  • Caso \;c<0\; obtemos hipérboles com ramos voltados ao longo do eixo y (por exemplo \;x^{2}-y^{2}=-1\Rightarrow y^{2}-x^{2}=1).
    Desenhe no plano xy algumas curvas de nível: retas \;y=\pm x\; (para c=0), uma hipérbole com ramos ao longo de x (para c=1), e uma hipérbole com ramos ao longo de y (para c=-1). Isso ajuda a ver onde a superfície tem altura positiva/negativa.

Passo 4

Seções por planos paralelos aos eixos (fatias que facilitam o esboço):
  • Se fixamos \;y=k\; (um plano paralelo ao eixo x), obtemos \;z=x^{2}-k^{2}\;. Para cada k isso é uma parábola em x que abre para cima e cujo vértice fica em (x,z)=(0,-k^{2}). À medida que |k| cresce, a parábola desloca-se para baixo (vértice mais negativo). Exemplo prático: para \;y=1\; a seção é \;z=x^{2}-1\; (vértice em z=-1).
  • Se fixamos \;x=k\; (um plano paralelo ao eixo y), obtemos \;z=k^{2}-y^{2}\;. Para cada k isso é uma parábola em y que abre para baixo, com vértice em (y,z)=(0,k^{2}). Exemplo: para \;x=1\; a seção é \;z=1-y^{2}\; (vértice em z=1).
    Conclusão concreta: ao cortar a superfície por planos verticais paralelos a x obtemos parábolas para cima; por planos verticais paralelos a y obtemos parábolas para baixo. Essa mistura cria a forma de sela.

Passo 5

Mostre a transformação de coordenadas que torna a forma mais evidente (ajuda visual):
  • Defina \;u=x+y\; e \;v=x-y\;. Então podemos inverter: \;x=\dfrac{u+v}{2}\;, \;y=\dfrac{u-v}{2}\;. Substituindo em \;z=x^{2}-y^{2}\; dá:
z=\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{u-v}{2}\right)^{2}=\dfrac{(u+v)^{2}-(u-v)^{2}}{4}=\dfrac{4uv}{4}=uv.
  • Logo, em coordenadas (u,v) a superfície é simplesmente \;z=uv\;. Isso é útil porque z=uv mostra claramente que se fixarmos u a função varia linearmente em v (e vice-versa), e que as curvas de nível são \;uv=c\; (hipérboles no plano uv). Visualmente, a superfície z=uv é a mesma sela, rotacionada por 45º no plano xy. Essa mudança explica por que as linhas \;y=\pm x\; aparecem naturalmente como divisoras entre regiões com sinal de z.

Passo 6

Pontos e sinais concretos — marque alguns pontos para orientar o desenho:
  • Ponto (0,0,0): origem — é ponto crítico (vértice da sela).
  • Pontos sobre o eixo x: (1,0,1), (-1,0,1) (acima do plano xy). À medida que |x| aumenta com y=0, z cresce quadráticamente.
  • Pontos sobre o eixo y: (0,1,-1), (0,-1,-1) (abaixo do plano xy).
  • Pontos na curva de nível z=0: por exemplo (1,1,0) e (1,-1,0) (esses pertencem às retas y=\pm x).
    Marque esses pontos no esboço 3D: eles ajudam a mostrar que a superfície sobe no sentido do eixo x e desce no sentido do eixo y.

Passo 7

Como montar o esboço passo a passo (receita prática para a prova):
  1. Desenhe os três eixos: x (para a direita), y (para a esquerda/afastando-se) e z vertical.
  2. No plano y=0 desenhe a parábola \;z=x^{2}\; (abre para cima) atravessando a origem.
  3. No plano x=0 desenhe a parábola \;z=-y^{2}\; (abre para baixo) atravessando a origem. Essas duas parábolas cruzam-se numa “cruz” e indicam a direção da sela.
  4. Desenhe as retas projetadas \;y=\pm x\; no plano xy — serão a projeção de \;z=0\;.
  5. Entre essas direções, desenhe as hipérboles de nível: para alturas positivas a superfície sobe em ramos voltados ao longo do eixo x; para alturas negativas a superfície desce em ramos voltados ao longo do eixo y. Use linhas curvas suaves conectando as parábolas que você desenhou.
  6. Indique que a origem é um ponto de sela: ao andar ao longo do eixo x passamos por um mínimo local (curvatura para cima), e ao andar ao longo do eixo y passamos por um máximo local (curvatura para baixo).

Passo 8

Propriedades formais úteis (para lembrar na prova):
  • Gradiente: \nabla f=(2x,\,-2y). Na origem (0,0) a derivada é nula (ponto crítico).
  • Hessiana (matriz das segundas derivadas) é \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}, que tem autovalores de sinais opostos (indefinida) → ponto de sela.
  • Curvas de nível e seções já descritas resumem o comportamento global: superfície indefinida que cresce indefinidamente quando |x|\to\infty e decresce indefinidamente quando |y|\to\infty.]

Resposta

Paraboloide hiperbólico (sela): \;z=x^{2}-y^{2}\;. Curvas de nível \;x^{2}-y^{2}=c\; (para c=0: retas y=\pm x; para c>0: hipérboles com ramos ao longo de x; para c<0: hipérboles com ramos ao longo de y). Seções: \;y=0\Rightarrow z=x^{2}\; (parábola para cima) e \;x=0\Rightarrow z=-y^{2}\; (parábola para baixo). Ponto crítico (0,0,0) é sela.

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