Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y, z) = ln(16 - 4x^2 - 4y^2 - z^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e desenhar o domínio da função . Isso está relacionado ao estudo das funções de várias variáveis, especificamente de onde a função está “valendo a pena”, ou seja, onde ela está bem definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo natural, , só é definido para números positivos. Então, para que exista, o que está dentro do logaritmo tem que ser maior que zero:

Passo 3

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores permitidos de , e . Primeiro, reescrevemos a desigualdade:
Agora, dividimos todos os termos por 16 para simplificar:
Simplificando as frações:
Ou, de forma equivalente:

Passo 4

Essa última expressão representa a equação de um elipsoide no espaço tridimensional. Um elipsoide é uma superfície fechada que se parece com uma esfera alongada. Os denominadores em cada termo indicam os comprimentos dos semi-eixos:
  • para os eixos e
  • para o eixo
Então, o domínio da função é o interior desse elipsoide, ou seja, todos os pontos que estão dentro dessa forma geométrica.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a desigualdade
Este conjunto corresponde ao interior de um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de comprimento 2 nas direções e , e 4 na direção .

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