Determine e esboce o domínio da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e desenhar o domínio da função
. Isso está relacionado ao estudo das funções de várias variáveis, especificamente de onde a função está “valendo a pena”, ou seja, onde ela está bem definida.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo natural,
, só é definido para números positivos. Então, para que
exista, o que está dentro do logaritmo tem que ser maior que zero:
Passo 3
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores permitidos de
,
e
. Primeiro, reescrevemos a desigualdade:
Agora, dividimos todos os termos por 16 para simplificar:
Simplificando as frações:
Ou, de forma equivalente:
Passo 4
Essa última expressão representa a equação de um elipsoide no espaço tridimensional. Um elipsoide é uma superfície fechada que se parece com uma esfera alongada. Os denominadores em cada termo indicam os comprimentos dos semi-eixos:
-
para os eixos e -
para o eixo
Então, o domínio da função
é o interior desse elipsoide, ou seja, todos os pontos
que estão dentro dessa forma geométrica.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a desigualdade
Este conjunto corresponde ao interior de um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de comprimento 2 nas direções
e
, e 4 na direção
.