Determine e esboce o domínio da função f(x, y)=\left(36-4 x^{2}-9 y^{2}\right)^{1 / 2}+2 \ln \left(9 x^{2}-y^{2}\right)
Obs.: esboce o domínio cuidadosamente indicando precisamente com pontilhados se alguma parte do domínio é aberta, etc. Esta questão não será corrigida, e não vale pontos, verifique o esboço da solução depois que o questionário fechar.
Naturalmente a recomendação é que a resolvam.
A função está bem definida em (2,1) ? Insira a sua resposta com 1 se SIM, e 0 se NÃO.
Resposta (0 ou 1) □
Insira sua resposta para ter acesso à solução depois do fechamento do Questionário.
Determinar e esboçar o domínio da função (onde f está definida), indicando cuidadosamente quais partes são abertas/fechadas.
Responder se a função está bem definida em (2,1) — responder com 1 se SIM e 0 se NÃO.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A raiz quadrada \left(36-4x^{2}-9y^{2}\right)^{1/2} exige que o radicando seja maior ou igual a zero:36-4x^{2}-9y^{2}\ge 0.
O logaritmo natural \ln\left(9x^{2}-y^{2}\right) exige que o argumento seja estritamente positivo:9x^{2}-y^{2}>0.
A partir dessas duas condições determinaremos o domínio como a interseção das duas regiões.
Passo 2
Vou tratar a condição da raiz quadrada. A desigualdade
36-4x^{2}-9y^{2}\ge 0
pode ser reorganizada dividindo por 36:
\frac{4x^{2}}{36}+\frac{9y^{2}}{36}\le 1.
Simplificando:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\le 1.
Explicação didática: essa é a equação/desigualdade padrão de uma elipse centrada na origem. A forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le 1 descreve o interior (e a fronteira) de uma elipse com semi-eixo a em x e b em y. Aqui:
a=3 (porque a^{2}=9),
b=2 (porque b^{2}=4).
Portanto a condição da raiz diz: os pontos estão dentro ou sobre a elipse de equação
Explicação didática: isso corresponde a estar estritamente “entre” as retas y=3x e y=-3x. As retas y=\pm 3x são as curvas onde 9x^{2}-y^{2}=0; como o log precisa de argumento positivo, estas retas devem ser excluídas (fronteira aberta em relação a essa condição). Geometricamente, a desigualdade define dois cones (ou setores) ilimitados abertos, um apontando para +x e outro para -x, ou, mais diretamente, a união dos pontos que satisfazem -3x<y<3x para x>0 e 3x<y<-3x para x<0. Em termos simples: estamos estritamente entre as linhas y=3x e y=-3x.
Passo 4
Intersecção das condições: o domínio D é a interseção da região elíptica (incluindo sua fronteira) com a região entre as retas (estritamente entre, sem incluir as retas). Logo, em forma de conjunto:
Explicação didática: precisamos dos pontos que estão dentro (ou sobre) a elipse e, ao mesmo tempo, em que y^{2}<9x^{2}. Sobre a fronteira elíptica (onde \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1) os pontos são permitidos somente se também satisfizerem 9x^{2}-y^{2}>0; se num ponto da elipse ocorrer 9x^{2}-y^{2}=0, esse ponto é excluído (porque o log ficaria com argumento zero).
Passo 5
Calcular as interseções das retas y=\pm 3x com a elipse para saber exatamente onde as fronteiras se cruzam. Substituindo y=3x na equação da elipse:
Explicação didática: há quatro pontos onde as retas cortam a elipse. Nesses quatro pontos o log tem argumento zero (pois 9x^{2}-y^{2}=0), logo esses quatro pontos precisam ser excluídos do domínio, mesmo que pertençam à fronteira elíptica.
Passo 6
Conclusão sobre inclusão/exclusão das fronteiras:
A elipse inteira (a curva \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1) normalmente seria incluída por causa do \ge na raiz, mas só são realmente incluídos os pontos dessa elipse que satisfazem 9x^{2}-y^{2}>0. Ou seja, os arcos da elipse que ficam estritamente entre as retas y=\pm 3x são incluídos (fronteira sólida nesses arcos).
As retas y=\pm 3x são sempre excluídas (fronteira pontilhada), porque nelas o argumento do ln é zero. Em particular, os quatro pontos de interseção que pertencem simultaneamente à elipse e às retas são excluídos.
O interior da elipse é permitido somente nas partes onde y^{2}<9x^{2}; isso gera dois “lóbulos” (um à direita e outro à esquerda do eixo y) dentro da elipse. A região central próxima ao eixo y (onde y^{2}\ge 9x^{2}) é excluída.
Passo 7
Descrição geométrica clara para o esboço (passo-a-passo de desenho):
Desenhe a elipse de equação\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1,com semi-eixos a=3 ao longo do eixo x e b=2 ao longo do eixo y. Essa elipse marca o contorno da região permitida pela raiz.
Desenhe as retasy=3x\quad\text{e}\quad y=-3x.Essas retas cortam a elipse em quatro pontos \left(\pm\frac{6}{\sqrt{85}},\pm\frac{18}{\sqrt{85}}\right).
O domínio é a parte da elipse (interior e parte da fronteira) que fica entre as retas, ou seja, os dois lóbulos à direita e à esquerda centrados nos eixos x positivos e negativos. Pinte (ou sombreie) o interior desses lóbulos.
Indique as retas y=\pm 3x com tracejado (pontilhado), porque pontos sobre essas retas não pertencem ao domínio (log indefinido).
Sobre a elipse, desenhe a porção de arco que fica entre as retas como contínua (fronteira incluída), mas deixe os quatro pontos de interseção da elipse com as retas abertos (um pequeno círculo vazio) para mostrar que esses pontos são excluídos.
Também mostre que a parte interior da elipse que está fora do cone |y|<3|x| (a faixa central perto do eixo y) não é sombreada — está excluída.
Observação didática: o ponto (0,0) está fora do domínio porque 9\cdot 0^{2}-0^{2}=0 e o log não aceita zero. Assim, a região central ao redor do eixo y (incluindo a origem) é removida.
Passo 8
Exemplos numéricos para fixar a ideia:
O ponto (2,1): calculamos36-4(2)^{2}-9(1)^{2}=36-16-9=11>0e9(2)^{2}-1^{2}=36-1=35>0.Logo (2,1) satisfaz ambas as condições; pertence ao domínio.
O ponto (0,0): tem 9\cdot0^{2}-0^{2}=0, então não pertence (log indefinido).
Um ponto sobre a reta y=3x dentro da elipse (por exemplo \left(\frac{6}{\sqrt{85}},\frac{18}{\sqrt{85}}\right)) faz 9x^{2}-y^{2}=0, logo é excluído apesar de estar sobre a elipse.
Passo 9
Resumo final do domínio em forma matemática e comentário final:
Arcos da elipse onde y^{2}<9x^{2}: fronteira sólida (incluída).
As retas y=\pm 3x: tracejamento (excluídas).
Os quatro pontos de interseção entre elipse e as retas: marcar com círculos abertos (excluídos).
Interior dos dois lóbulos dentro da elipse entre as retas: sombreado (incluso).
Passo 10
Resposta à pergunta específica sobre (2,1): como verificado no Passo 8, (2,1) satisfaz ambas as condições (radicando positivo e argumento do log positivo), portanto a função está bem definida em (2,1). A resposta pedida é 1.