Determine se o seguinte limite existe ou não. Caso exista, determine o valor do limite. Justifique precisamente sua resposta.
Caso o limite não exista insira o valor
, e caso o limite exista insira o valor
do limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o limite
existe e, caso exista, encontrar o seu valor. Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: o limite quando
tende a
existe? Se sim, qual é o valor
; se não, devemos colocar
.
Passo 2
Vamos separar a expressão em duas parcelas para estudar cada uma:
onde definimos
Se conseguirmos mostrar que
e
existem, então a soma terá limite
(propriedade básica de limites).
Passo 3
Estudo de
. É conveniente usar coordenadas polares: escrevemos
Substituindo em
obtemos
Portanto
fica explícita em termos de
e
.
Passo 4
Mostramos que
quando
(isto é,
), de forma independente de
. Pelo valor obtido:
pois
e
. Como
implica
, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
Passo 5
Estudo de
. Note que
, logo
Reescrevemos isolando a razão conhecida
. Façamos
. Então
É um fato padrão de análise elemental (pode ser provado por séries de Taylor ou por um argumento geométrico) que
Como
implica
, obtemos
Passo 6
Agora reunimos os resultados:
e
. Pela propriedade da soma de limites, o limite da função original existe e é a soma destes limites.