Determine se o seguinte limite existe ou não. Caso exista, determine o valor do limite. Justifique precisamente sua resposta.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{9 x y^{2}+\operatorname{sen}\left[3\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]}{5\left(x^{2}+y^{2}\right)}
Caso o limite não exista insira o valor L=999, e caso o limite exista insira o valor L do limite.
L=\square

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{9xy^{2}+\operatorname{sen}\!\bigl(3(x^{2}+y^{2})\bigr)}{5(x^{2}+y^{2})}
existe e, caso exista, encontrar o seu valor. Informações relevantes fornecidas:
\text{função }f(x,y)=\frac{9xy^{2}+\operatorname{sen}\!\bigl(3(x^{2}+y^{2})\bigr)}{5(x^{2}+y^{2})},\quad (x,y)\neq(0,0).çã
A pergunta é: o limite quando (x,y) tende a (0,0) existe? Se sim, qual é o valor L; se não, devemos colocar L=999.

Passo 2

Vamos separar a expressão em duas parcelas para estudar cada uma:
\frac{9xy^{2}+\operatorname{sen}\!\bigl(3(x^{2}+y^{2})\bigr)}{5(x^{2}+y^{2})} = A(x,y)+B(x,y),
onde definimos
A(x,y)=\frac{9xy^{2}}{5(x^{2}+y^{2})}, \qquad B(x,y)=\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(3(x^{2}+y^{2})\bigr)}{5(x^{2}+y^{2})}.
Se conseguirmos mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)=a e \lim_{(x,y)\to(0,0)}B(x,y)=b existem, então a soma terá limite a+b (propriedade básica de limites).

Passo 3

Estudo de A(x,y). É conveniente usar coordenadas polares: escrevemos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0.
Substituindo em A obtemos
A(x,y)=\frac{9\,(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}}{5\,r^{2}} =\frac{9}{5}\,r\cos\theta\sin^{2}\theta.
Portanto A fica explícita em termos de r e \theta.

Passo 4

Mostramos que A(x,y)\to 0 quando r\to 0 (isto é, (x,y)\to(0,0)), de forma independente de \theta. Pelo valor obtido:
|A(x,y)|=\frac{9}{5}\,r\,|\cos\theta|\,\sin^{2}\theta \le \frac{9}{5}\,r\cdot 1\cdot 1=\frac{9}{5}\,r,
pois |\cos\theta|\le1 e \sin^{2}\theta\le1. Como r\to0 implica \frac{9}{5}r\to0, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)=0.

Passo 5

Estudo de B(x,y). Note que x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo
B(x,y)=\frac{\operatorname{sen}(3r^{2})}{5r^{2}}.
Reescrevemos isolando a razão conhecida \dfrac{\operatorname{sen} t}{t}. Façamos t=3r^{2}. Então
B(x,y)=\frac{3}{5}\cdot\frac{\operatorname{sen}(3r^{2})}{3r^{2}}=\frac{3}{5}\cdot\frac{\operatorname{sen} t}{t}.
É um fato padrão de análise elemental (pode ser provado por séries de Taylor ou por um argumento geométrico) que
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Como r\to0 implica t=3r^{2}\to0, obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}B(x,y)=\frac{3}{5}\cdot 1=\frac{3}{5}.

Passo 6

Agora reunimos os resultados: \lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)=0 e \lim_{(x,y)\to(0,0)}B(x,y)=\dfrac{3}{5}. Pela propriedade da soma de limites, o limite da função original existe e é a soma destes limites.

Resposta

L=\frac{3}{5}

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