Determine e esboce o maior conjunto no qual a função dada é contínua ( 29,38 )
f(x, y)=x y1+e^x-y

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar o maior conjunto no qual a função de duas variáveis f(x,y)=x y1+e^x-y é contínua. O conteúdo envolve continuidade de funções de várias variáveis e domínio de definição.

Passo 2

Devemos identificar o domínio natural de f, que é o conjunto de pontos onde o denominador não zera. Especificamente, chamamos o numerador de g(x,y)=xy e o denominador de h(x,y)=1+e^x-y.

Passo 3

Como sabemos que e^x-y>0 para todo (x,y)inR^2, segue que h(x,y)=1+e^x-y>1>0 em todo \mathbb{R}^2. Logo, h(x,y) nunca é zero.
Soma, produto, função exponencial e quociente (quando o denominador não é zero) são operações que preservam continuidade. Logo, f é contínua em todo o seu domínio, que já vimos ser R^2.

Passo 4

Para esboçar o domínio de continuidade, basta considerar todo o plano (x,y); não há restrição: é o próprio \mathbb{R}^2. No desenho, pinta-se o plano inteiro.

Resposta

O maior conjunto de continuidade é R^2.

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