Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
lim (x, y) (0,1) arctan (x^2+1x^2+(y-1)^2)

Passo 1

No primeiro passo, vamos resumir a questão: queremos calcular o limite de uma função de duas variáveis, mais precisamente
Temos a expressão
arctangl(x^2+1x^2+(y-1)^2gr)
e queremos o valor de
lim(x,y)to(0,1)arctanl(tfracx^2+1x^2+(y-1)^2r)
O conteúdo aqui envolve limites em várias variáveis e o comportamento da função arctan para argumentos grandes.

Passo 2

Agora, analisando o quociente interno: o numerador x^2+1 tende a 1 quando (x,y)to(0,1). O denominador x^2+(y-1)^2 é sempre não negativo e tende a 0. Como em qualquer aproximação (exceto exatamente no ponto crítico) temos denominador positivo e pequeno, o quociente cresce sem limite. Ou seja,
x^2+1x^2+(y-1)^2;longrightarrow;+infty
quando (x,y)to(0,1).

Passo 3

Por fim, usamos a propriedade da função arctan: ela é contínua e satisfaz
limtto+inftyarctan(t)=pi2
Logo, substituindo o argumento divergente, concluímos que o limite original é pi/2.

Resposta

pi2

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