Determine e esboce a região de integração
e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado dá a integral
sobre a região
e pede (a) esboçar
e (b) trocar a ordem de integração. O conteúdo aqui é descrição de domínio em
e troca de ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
A região
é
Para esboçar, faça:
– Trace as retas horizontais e
.
– Marque a reta vertical .
– Desenhe a curva , que cresce de
em
até
em
.
– A região é o “túnel” entre e
, para
entre 0 e 3.
– Trace as retas horizontais
– Marque a reta vertical
– Desenhe a curva
– A região é o “túnel” entre
Passo 3
Para inverter a ordem, observe que em
temos sempre
. Equivalente é
pois
, e o máximo de
é 3. Logo, quando fixamos
,
vai de
até 3, e
vai de 1 até
.
Passo 4
Substituindo esses limites na integral, obtemos
Resposta
A região de integração é
esboçada entre as curvas
,
,
e
. A integral de ordem trocada é