Determine e esboce a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
\int_{0}^{3} \int_{1}^{e^{y}} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{0}^{3}\int_{1}^{e^{y}}f(x,y)\,dx\,dy
sobre a região D\subset\mathbb{R}^2 e pede (a) esboçar D e (b) trocar a ordem de integração. O conteúdo aqui é descrição de domínio em (x,y) e troca de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

A região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le3,\;1\le x\le e^y\}.
Para esboçar, faça:
– Trace as retas horizontais y=0 e y=3.
– Marque a reta vertical x=1.
– Desenhe a curva x=e^y, que cresce de x=e^0=1 em y=0 até x=e^3 em y=3.
– A região é o “túnel” entre x=1 e x=e^y, para y entre 0 e 3.

Passo 3

Para inverter a ordem, observe que em D temos sempre 1\le x\le e^y. Equivalente é
1\le x\le e^3, \quad \ln x\le y\le3,
pois x\le e^y\iff y\ge\ln x, e o máximo de y é 3. Logo, quando fixamos x, y vai de \ln x até 3, e x vai de 1 até e^3.

Passo 4

Substituindo esses limites na integral, obtemos
\int_{0}^{3}\!\int_{1}^{e^y}f(x,y)\,dx\,dy = \int_{1}^{e^3}\!\int_{\ln x}^{3}f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

A região de integração é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le3,\;1\le x\le e^y\},
esboçada entre as curvas y=0, y=3, x=1 e x=e^y. A integral de ordem trocada é
\int_{1}^{e^3}\int_{\ln x}^{3}f(x,y)\,dy\,dx.

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