As integrais não podem ser calculadas extamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada. Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} x^{2} e^{x y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}x^{2}e^{xy}\,dx\,dy
e em seguida calcular o valor. O conteúdo envolve dupla integral, mudança de ordem e integração de funções exponenciais.

Passo 2

A região de integração D é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\\ y\le x\le1\}.
Invertemos a ordem: x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a x. Assim
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}x^{2}e^{xy}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}x^{2}e^{xy}\,dy\,dx.

Passo 3

Dentro da integral em y, x é constante. Usamos
\int e^{xy}\,dy = \frac{1}{x}e^{xy}.
Logo,
\int_{0}^{x}x^{2}e^{xy}\,dy =x^{2}\,\Bigl[\frac{1}{x}e^{xy}\Bigr]_{y=0}^{y=x} =x^{2}\,\frac{e^{x^{2}}-1}{x} =x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr).

Passo 4

A integral original reduz-se a
\int_{0}^{1}x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx usamos a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx, daí
\int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int_{u=0}^{u=1}e^{u}\,du =\frac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) =\frac{e-1}{2}.
E
\int_{0}^{1}x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Subtraindo,
\frac{e-1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e-2}{2}.

Resposta

\frac{e-2}{2}.

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