Determine, se existir, a derivada da função
nos pontos indicados
e
. Caso não exista, justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar, se existir, a derivada nos pontos indicados:
As perguntas são: existe
? existe
? existe
? Se não existir, justificar.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a função em forma “peça por peça” para entender o comportamento ao redor de
Aqui
ambas as expressões valem
, então
é contínua em
.]
Passo 3
Vou lembrar a definição de derivada (essa é a ferramenta que usamos para testar existência):
se esse limite existir (e for finito). Para pontos onde a função é dada por partes, o jeito prático é calcular as derivadas laterais (derivada pela esquerda e derivada pela direita):
A derivada
existe se, e só se, as duas derivadas laterais existirem e forem iguais:
.
Passo 4
Calcular a derivada nas regiões onde
é dada por uma única expressão (fora do ponto
).
- Para
usamos . Essa é uma reta de coeficiente angular , então para todo
Explicação rápida: a derivada de
em qualquer ponto é o coeficiente de
, que é
.
- Para
usamos . Essa é uma reta de coeficiente angular , então para todo
Explicação rápida: a derivada de
é
.
Essas afirmações são aplicações diretas da regra: derivada de
é
.
Passo 5
Agora analisamos
(ponto
). Precisamos comparar as derivadas laterais em
.
Calcular a derivada pela esquerda em
. Para
pequeno temos
, então usamos
. Como
,
Calcular a derivada pela direita em
. Para
pequeno temos
, então
. Assim
Como
e
e esses valores não coincidem, a derivada
não existe. Intuitivamente isso ocorre porque
tem um “canto” (ou vértice) em
: a inclinação muda bruscamente de
para
.
Passo 6
Analisar
(ponto
). Note que
, então existe um intervalo aberto ao redor de
que permanece na região
. Em tal vizinhança
, uma função linear com coeficiente
. Assim a derivada em
é simplesmente o coeficiente:
Se quiser ver pelo quociente de diferença:
Passo 7
Analisar
(ponto
). Como
, novamente estamos na mesma peça
em torno de
. Logo a derivada é também o coeficiente dessa reta:
Pelo quociente de diferença a conta é análoga à do ponto
.