Determine, se existir, a derivada da função f nos pontos indicados a, b e c. Caso não exista, justifique.
f(x)=|x-5| \quad a=5, b=0, c=-3

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=|x-5| e pede para determinar, se existir, a derivada nos pontos indicados:
  • a=5
  • b=0
  • c=-3
As perguntas são: existe f'(\,5)? existe f'(\,0)? existe f'(-3)? Se não existir, justificar.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a função em forma “peça por peça” para entender o comportamento ao redor de x=5\). Lembre que, para qualquer número real \(t\), \[|t|= \begin{cases} t, & t\ge 0,\\[4pt] -t, & t<0. \end{cases}
Aqui t=x-5\]. Portanto \[f(x)=|x-5|= \begin{cases} 5-x, & x<5,\\[4pt] x-5, & x\ge 5. \end{cases}\] Observação rápida: em \(x=5 ambas as expressões valem 0, então f é contínua em x=5.]

Passo 3

Vou lembrar a definição de derivada (essa é a ferramenta que usamos para testar existência):
f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
se esse limite existir (e for finito). Para pontos onde a função é dada por partes, o jeito prático é calcular as derivadas laterais (derivada pela esquerda e derivada pela direita):
f'_-(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\qquad f'_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
A derivada f'(x_0) existe se, e só se, as duas derivadas laterais existirem e forem iguais: f'_-(x_0)=f'_+(x_0).

Passo 4

Calcular a derivada nas regiões onde f é dada por uma única expressão (fora do ponto x=5).
  • Para x>5 usamos f(x)=x-5. Essa é uma reta de coeficiente angular 1, então para todo x>5
f'(x)=1.
Explicação rápida: a derivada de x-5 em qualquer ponto é o coeficiente de x, que é 1.
  • Para x<5 usamos f(x)=5-x. Essa é uma reta de coeficiente angular -1, então para todo x<5
f'(x)=-1.
Explicação rápida: a derivada de 5-x é -1.
Essas afirmações são aplicações diretas da regra: derivada de ax+b é a.

Passo 5

Agora analisamos x_0=5 (ponto a). Precisamos comparar as derivadas laterais em 5.
Calcular a derivada pela esquerda em 5. Para h<0 pequeno temos 5+h<5, então usamos f(5+h)=5-(5+h)=-h. Como f(5)=0,
f'_-(5)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(5+h)-f(5)}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{-h-0}{h} =\lim_{h\to 0^-}(-1)=-1.
Calcular a derivada pela direita em 5. Para h>0 pequeno temos 5+h>5, então f(5+h)=(5+h)-5=h. Assim
f'_+(5)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(5+h)-f(5)}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{h-0}{h} =\lim_{h\to 0^+}1=1.
Como f'_-(5)=-1 e f'_+(5)=1 e esses valores não coincidem, a derivada f'(5) não existe. Intuitivamente isso ocorre porque f tem um “canto” (ou vértice) em x=5: a inclinação muda bruscamente de -1 para 1.

Passo 6

Analisar x_0=0 (ponto b). Note que 0<5, então existe um intervalo aberto ao redor de 0 que permanece na região x<5. Em tal vizinhança f(x)=5-x, uma função linear com coeficiente -1. Assim a derivada em 0 é simplesmente o coeficiente:
f'(0)=-1.
Se quiser ver pelo quociente de diferença:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{(5-(0+h))-(5-0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.

Passo 7

Analisar x_0=-3 (ponto c). Como -3<5, novamente estamos na mesma peça f(x)=5-x em torno de -3. Logo a derivada é também o coeficiente dessa reta:
f'(-3)=-1.
Pelo quociente de diferença a conta é análoga à do ponto 0.

Resposta

f'(5) não existe
f'(0)=-1
f'(-3)=-1

Exercícios relacionados