Determine, se existir, a derivada da função f nos pontos indicados a, b e c. Caso não exista, justifique.
f(x)=\sqrt{x^{2}-4} \quad a=-2, \quad b=2, \quad c=5

Passo 1

O enunciado nos dá a função f e três pontos onde devemos investigar a derivada:
  • f(x)=\sqrt{x^{2}-4}.
  • Pontos indicados: a=-2, b=2, c=5.
O que se pede:
  • Determinar, se existir, a derivada de f nos pontos a, b e c.
  • Caso a derivada não exista em algum desses pontos, justificar por que não existe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A raiz exige x^{2}-4\ge 0. Logo o domínio de f é \{x\in\mathbb{R}\mid x\le-2\\ \text{ou}\\ x\ge2\}.
  • Os pontos x=-2 e x=2 são exatamente as fronteiras do domínio (pontos de extremidade/fecho de cada ramo); x=5 é um ponto interior do ramo x\ge2.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a fórmula da derivada para pontos interiores do domínio (ou seja, para x tais que |x|>2). Isso vai nos permitir avaliar a derivada em x=5 e também ver o comportamento quando x se aproxima de \pm2.
Como regra de derivação para uma raiz quadrada escrita como potência, escrevemos
f(x)=(x^{2}-4)^{1/2}.
Aplicando a regra da derivada de uma potência composta (a “regra da cadeia”): a derivada de (u(x))^{1/2} é \tfrac{1}{2}(u(x))^{-1/2}\cdot u'(x). Aqui u(x)=x^{2}-4 e u'(x)=2x. Portanto, para x onde a expressão está bem definida e a raiz não é zero no denominador,
f'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-4)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}.
Explicando as partes:
  • \,x^{2}-4 é a “parte dentro da raiz”.
  • \sqrt{x^{2}-4} é o denominador resultante da aplicação da regra.
  • A fórmula vale quando o denominador é diferente de zero, ou seja, quando |x|>2. Nos pontos x=\pm2 a fórmula não pode ser usada diretamente porque dá divisão por zero.

Passo 3

Aplicando a fórmula em c=5 (que é interior do ramo x\ge2, portanto |5|>2, tudo ok):
Usando f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}, obtemos
f'(5)=\frac{5}{\sqrt{5^{2}-4}}=\frac{5}{\sqrt{25-4}}=\frac{5}{\sqrt{21}}.
Esse é um número finito e bem definido, logo a derivada existe em c=5.

Passo 4

Agora analisamos b=2. Como 2 é a extremidade esquerda do intervalo [2,\infty) de definição, a derivada em x=2 (quando existe) deve ser entendida como derivada lateral à direita — isto é, o limite do quociente incremental quando x\to2^+. Calculamos a derivada à direita pelo limite
\lim_{x\to2^{+}}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Aqui f(2)=\sqrt{2^{2}-4}=\sqrt{0}=0. Assim
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-2}.
Fazemos uma fatoração dentro da raiz para tornar o limite claro:
\sqrt{x^{2}-4}=\sqrt{(x-2)(x+2)}=\sqrt{x-2}\,\sqrt{x+2}.
Portanto, para x>2,
\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-2}=\frac{\sqrt{x-2}\,\sqrt{x+2}}{x-2}=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}.
Ao fazermos x\to2^{+}, o numerador \sqrt{x+2}\to\sqrt{4}=2 (finitamente) e o denominador \sqrt{x-2}\to 0^{+}. Assim o quociente tende a +\infty. Conclusão: a derivada à direita em x=2 é infinita (tende a +\infty); portanto não existe derivada finita em x=2. Em termos geométricos isso corresponde a uma tangente vertical no ponto x=2.

Passo 5

Analisamos a=-2. Agora -2 é a extremidade direita do ramo (-\infty,-2]. A derivada em x=-2, quando existir, deve ser entendida como derivada lateral à esquerda — o limite do quociente incremental quando x\to-2^{-}:
\lim_{x\to-2^{-}}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}.
Novamente f(-2)=\sqrt{(-2)^{2}-4}=0. Então
\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+2}.
Para manipular esse quociente, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x^{2}-4} (ou usamos a fatoração e cancelar), obtendo uma forma equivalente mais conveniente:
\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+2}=\frac{x^{2}-4}{(x+2)\sqrt{x^{2}-4}}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)\sqrt{x^{2}-4}}=\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4}}.
Para x<-2 a raiz é positiva e o denominador \sqrt{x^{2}-4}\to0^{+} quando x\to-2^{-}, enquanto x-2\to -4 (valor finito e negativo). Assim o quociente tende a -\infty. Logo a derivada à esquerda em x=-2 diverge para -\infty e não existe como número real finito. Em termos geométricos, também temos uma tangente vertical (slope infinito em módulo) no ponto x=-2, com sinal negativo da inclinação.

Passo 6

Resumo e interpretação final:
  • Em qualquer ponto interior do domínio com |x|>2 a derivada existe e é dada por \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}.
  • Nos pontos de fronteira x=\pm2 a derivada não existe como número real finito: as derivadas laterais existem mas são infinitas (em sinais opostos): à direita em 2 tende a +\infty; à esquerda em -2 tende a -\infty. Portanto a derivada não existe (no sentido de número real) em a e em b.

Resposta

a: não existe (derivada lateral esquerda tende a -\infty)
b: não existe (derivada lateral direita tende a +\infty)
c: f'(5)=\dfrac{5}{\sqrt{21}}

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