Determine, se existir, a derivada da função
nos pontos indicados
e
. Caso não exista, justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e três pontos onde devemos investigar a derivada:
-
. - Pontos indicados:
, , .
O que se pede:
- Determinar, se existir, a derivada de
nos pontos , e . - Caso a derivada não exista em algum desses pontos, justificar por que não existe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A raiz exige
. Logo o domínio de é . - Os pontos
e são exatamente as fronteiras do domínio (pontos de extremidade/fecho de cada ramo); é um ponto interior do ramo .
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a fórmula da derivada para pontos interiores do domínio (ou seja, para
tais que
). Isso vai nos permitir avaliar a derivada em
e também ver o comportamento quando
se aproxima de
.
Como regra de derivação para uma raiz quadrada escrita como potência, escrevemos
Aplicando a regra da derivada de uma potência composta (a “regra da cadeia”): a derivada de
é
. Aqui
e
. Portanto, para
onde a expressão está bem definida e a raiz não é zero no denominador,
Explicando as partes:
-
é a “parte dentro da raiz”. -
é o denominador resultante da aplicação da regra. - A fórmula vale quando o denominador é diferente de zero, ou seja, quando
. Nos pontos a fórmula não pode ser usada diretamente porque dá divisão por zero.
Passo 3
Aplicando a fórmula em
(que é interior do ramo
, portanto
, tudo ok):
Usando
, obtemos
Esse é um número finito e bem definido, logo a derivada existe em
.
Passo 4
Agora analisamos
. Como
é a extremidade esquerda do intervalo
de definição, a derivada em
(quando existe) deve ser entendida como derivada lateral à direita — isto é, o limite do quociente incremental quando
. Calculamos a derivada à direita pelo limite
Aqui
. Assim
Fazemos uma fatoração dentro da raiz para tornar o limite claro:
Portanto, para
,
Ao fazermos
, o numerador
(finitamente) e o denominador
. Assim o quociente tende a
. Conclusão: a derivada à direita em
é infinita (tende a
); portanto não existe derivada finita em
. Em termos geométricos isso corresponde a uma tangente vertical no ponto
.
Passo 5
Analisamos
. Agora
é a extremidade direita do ramo
. A derivada em
, quando existir, deve ser entendida como derivada lateral à esquerda — o limite do quociente incremental quando
:
Novamente
. Então
Para manipular esse quociente, multiplicamos numerador e denominador por
(ou usamos a fatoração e cancelar), obtendo uma forma equivalente mais conveniente:
Para
a raiz é positiva e o denominador
quando
, enquanto
(valor finito e negativo). Assim o quociente tende a
. Logo a derivada à esquerda em
diverge para
e não existe como número real finito. Em termos geométricos, também temos uma tangente vertical (slope infinito em módulo) no ponto
, com sinal negativo da inclinação.
Passo 6
Resumo e interpretação final:
- Em qualquer ponto interior do domínio com
a derivada existe e é dada por . - Nos pontos de fronteira
a derivada não existe como número real finito: as derivadas laterais existem mas são infinitas (em sinais opostos): à direita em tende a ; à esquerda em tende a . Portanto a derivada não existe (no sentido de número real) em e em .
Resposta
a: não existe (derivada lateral esquerda tende a
)
b: não existe (derivada lateral direita tende a )
c:
b: não existe (derivada lateral direita tende a
c: