Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é matriz triangular inferior; para achar a inversa podemos usar o fato de que A é invertível (é unitária na diagonal) e resolver o sistema
A X = I
por substituição (forward substitution), obtendo coluna a coluna de X=A^{-1}.

Passo 2

Verificamos que A é invertível porque é triangular inferior e
\det(A)=1\cdot1\cdot1=1\neq0.

Passo 3

Para obter A^{-1}, resolvemos
A\,x^{(i)} = e_i,
onde e_i é o i-ésimo vetor canônico em \mathbb{R}^3. A solução x^{(i)} será a i-ésima coluna de A^{-1}.

Passo 4

Para i=1, resolvemos
A\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Pelo formato triangular inferior, vem
x_1=1,\quad 2x_1+x_2=0\implies x_2=-2,\quad 3x_1+2x_2+x_3=0\implies x_3=1.
Logo, x^{(1)}=(1,-2,1)^{T}.

Passo 5

Para i=2, resolvemos
A\begin{pmatrix}y_1\y_2\y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Temos
y_1=0,\quad 2y_1+y_2=1\implies y_2=1,\quad 3y_1+2y_2+y_3=0\implies y_3=-2.
Logo, x^{(2)}=(0,1,-2)^{T}.

Passo 6

Para i=3, resolvemos
A\begin{pmatrix}z_1\z_2\z_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Obtemos
z_1=0,\quad 2z_1+z_2=0\implies z_2=0,\quad 3z_1+2z_2+z_3=1\implies z_3=1.
Logo, x^{(3)}=(0,0,1)^{T}.

Passo 7

Reunindo as colunas x^{(1)}, x^{(2)} e x^{(3)}, obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

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