Determine, se existir, o plano tangente ad gráfico da função z=\sqrt{2 x^{2}+y^{2}} no ponto P_{1}(1,1, \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico da função
z = \sqrt{2x^{2} + y^{2}}
no ponto P_{1}(1,1,\sqrt{3}). O conteúdo aqui é derivada parcial e plano tangente a superfície dada por z = f(x,y). Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

A fórmula do plano tangente à superfície z = f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z - z_{0} = f_x(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) \;+\; f_y(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).
Aqui f(x,y)=\sqrt{2x^{2}+y^{2}}. Vamos obter f_x e f_y de forma geral. Seja u(x,y)=2x^{2}+y^{2}. Então
f(x,y)=\sqrt{u}\quad\Longrightarrow\quad f_x = \frac{1}{2\sqrt{u}}\;\frac{\partial u}{\partial x},\quad f_y = \frac{1}{2\sqrt{u}}\;\frac{\partial u}{\partial y}.
Como \partial u/\partial x = 4x e \partial u/\partial y = 2y, vem
f_x(x,y) = \frac{4x}{2\sqrt{2x^{2}+y^{2}}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}, \qquad f_y(x,y) = \frac{2y}{2\sqrt{2x^{2}+y^{2}}} = \frac{y}{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas parciais em (x_{0},y_{0})=(1,1), sabendo que z_{0}=f(1,1)=\sqrt{3}:
f_x(1,1) = \frac{2\cdot1}{\sqrt{2\cdot1^{2}+1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{3}}, \qquad f_y(1,1) = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}(x - 1) + \frac{1}{\sqrt{3}}(y - 1).

Passo 5

Podemos reorganizar para uma forma mais enxuta. Multiplicando ambos os lados por \sqrt{3} e rearranjando, nota-se que o termo constante zera, resultando em
z = \frac{2x + y}{\sqrt{3}}.

Resposta

O plano tangente é
z = \frac{2x + y}{\sqrt{3}}.

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