Qual a interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis z=f(x, y) em um ponto?

Passo 1

O enunciado nos pede a interpretação geométrica das derivadas parciais de z=f(x,y) em um ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr). Vamos usar a ideia de curvas de interseção da superfície z=f(x,y) com planos paralelos aos planos coordenados e depois relacionar essas retas tangentes ao plano tangente à superfície.

Passo 2

Para entender \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}), fixamos y=y_{0} e definimos a função de uma variável
g(x)=f\bigl(x,y_{0}\bigr).
O gráfico de g vive no plano xz. A derivada
g'(x_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})
é a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano y=y_{0} no ponto \bigl(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})\bigr).

Passo 3

Analogamente, para \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) fixamos x=x_{0} e definimos
h(y)=f\bigl(x_{0},y\bigr).
O gráfico de h vive no plano yz. A derivada
h'(y_{0})=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})
é a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano x=x_{0} no mesmo ponto.

Passo 4

Essas duas retas, uma no plano y=y_{0} e outra no plano x=x_{0}, determinam o plano tangente à superfície em \bigl(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})\bigr). Sua equação é
z - f(x_{0},y_{0}) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).

Resposta

A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) é a inclinação da reta tangente à curva obtida ao intersectar a superfície z=f(x,y) com o plano y=y_{0}. A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) é a inclinação da reta tangente à curva obtida ao intersectar a superfície com o plano x=x_{0}. Essas retas, juntas, definem o plano tangente à superfície naquele ponto.

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