Qual a interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis
em um ponto?
Passo 1
O enunciado nos pede a interpretação geométrica das derivadas parciais de
em um ponto
. Vamos usar a ideia de curvas de interseção da superfície
com planos paralelos aos planos coordenados e depois relacionar essas retas tangentes ao plano tangente à superfície.
Passo 2
Para entender
, fixamos
e definimos a função de uma variável
O gráfico de
vive no plano
. A derivada
é a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano
no ponto
.
Passo 3
Analogamente, para
fixamos
e definimos
O gráfico de
vive no plano
. A derivada
é a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano
no mesmo ponto.
Passo 4
Essas duas retas, uma no plano
e outra no plano
, determinam o plano tangente à superfície em
. Sua equação é
Resposta
A derivada parcial
é a inclinação da reta tangente à curva obtida ao intersectar a superfície
com o plano
. A derivada parcial
é a inclinação da reta tangente à curva obtida ao intersectar a superfície com o plano
. Essas retas, juntas, definem o plano tangente à superfície naquele ponto.