Determine a expansão de cossenos e a expansão de senos em meia escala da função: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0<x<\frac{1}{2} \\\\ 0, & \frac{1}{2} \leq x<1\end{array} \quad\right.
definida em [0,1] e pede duas coisas: a expansão em cossenos (extensão par, meia-onda de período 2) e a expansão em senos (extensão ímpar, meia-onda de período 2). Para isso, vamos usar as fórmulas padrão de série de Fourier em meia-onda com L=1:\r
\text{(i) Série de cossenos: } f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\pi x), \quad a_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx;é
\text{(ii) Série de senos: } f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin(n\pi x), \quad b_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.é]
Passo 2
Calcular os coeficientes a_n. Como f(x)=1 só em 0<x<\tfrac12, temos:\r