Determine a expansão de cossenos e a expansão de senos em meia escala da função:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0<x<\frac{1}{2} \\\\ 0, & \frac{1}{2} \leq x<1\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função\r
f(x)=\begin{cases} 1, & 0<x<\tfrac12,\\[6pt] 0, & \tfrac12\le x<1 \end{cases}\r
definida em [0,1] e pede duas coisas: a expansão em cossenos (extensão par, meia-onda de período 2) e a expansão em senos (extensão ímpar, meia-onda de período 2). Para isso, vamos usar as fórmulas padrão de série de Fourier em meia-onda com L=1:\r
\text{(i) Série de cossenos: } f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\pi x), \quad a_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx;é
\text{(ii) Série de senos: } f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin(n\pi x), \quad b_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.é]

Passo 2

Calcular os coeficientes a_n. Como f(x)=1 só em 0<x<\tfrac12, temos:\r
a_{0}=2\int_{0}^{1}f(x)\,dx =2\int_{0}^{1/2}1\,dx =2\cdot\tfrac12 =1,
a_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx =2\int_{0}^{1/2}\cos(n\pi x)\,dx.\r
Fazendo a integral:\r
\int_{0}^{1/2}\cos(n\pi x)\,dx =\Bigl[\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\Bigr]_{0}^{1/2} =\frac{1}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).\r
Logo\r
a_{n} =2\cdot\frac{1}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) =\frac{2}{n\pi}\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 3

Escrever a série de cossenos completa:\r
f(x) =\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\pi x) =\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\,\cos(n\pi x).\r
Observação: \sin(\tfrac{n\pi}{2}) vale 0 para n par, +1 para n=4k+1 e -1 para n=4k+3.

Passo 4

Calcular os coeficientes b_n. De modo análogo,\r
b_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx =2\int_{0}^{1/2}\sin(n\pi x)\,dx.\r
Integramos:\r
\int_{0}^{1/2}\sin(n\pi x)\,dx =\Bigl[-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\Bigr]_{0}^{1/2} =\frac{1}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr).\r
Logo\r
b_{n} =2\cdot\frac{1}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr) =\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr).

Passo 5

Escrever a série de senos completa:\r
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin(n\pi x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)\,\sin(n\pi x).\r
Observação: \cos(\tfrac{n\pi}{2}) vale 1 para n=4k, 0 para n=4k+1,4k+3 e -1 para n=4k+2.

Resposta

Expansão em cossenos:\r
f(x)=\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\,\cos(n\pi x).\r
\r
Expansão em senos:\r
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)\,\sin(n\pi x).

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