Expanda a função em uma série apropriada de cossenos ou de senos:
f(x)=x^{2} \quad-1<x<1 \quad

Passo 1

O enunciado pede a expansão de f(x)=x^2 em série de funções trigonométricas em -1<x<1. Como o intervalo é simétrico e f é par, vamos usar série de cossenos (só aparecem termos em \cos(n\pi x)).

Passo 2

A forma geral da série de cossenos em -1<x<1 é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\pi x),
onde
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx.
Como f e \cos(n\pi x) são pares, podemos usar
a_0=2\int_{0}^{1}x^2\,dx,\quad a_n=2\int_{0}^{1}x^2\cos(n\pi x)\,dx.

Passo 3

Calculemos primeiro
a_0=2\int_{0}^{1}x^2\,dx =2\Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2}{3}.
Logo o termo constante na série é
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora calculemos
I_n=\int_{0}^{1}x^2\cos(n\pi x)\,dx.
Fazendo integração por partes uma vez com u=x^2, dv=\cos(n\pi x)\,dx, obtemos
I_n =-\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx.
Em seguida, para
J_n=\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx,
integramos por partes com u=x, dv=\sin(n\pi x)\,dx e achamos
J_n=-\frac{(-1)^n}{n\pi}.
Assim
I_n =-\frac{2}{n\pi}\,J_n =\frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2}.

Passo 5

Como a_n=2I_n, temos
a_n =\frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}.

Resposta

x^2 =\frac{1}{3} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}\,\cos\bigl(n\pi x\bigr).

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