Determine a expressão da função y=y(t) que satisfaz as seguintes condições:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}=5 t-3 \\\ y(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem \displaystyle \frac{dy}{dt} = 5t - 3
com condição inicial y(0)=2.
O conteúdo aqui é integração de equações do tipo y'(t)=f(t), que se resolve por primitives.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a t para obter y(t).
y(t) = \int (5t - 3)\,dt = \int 5t\,dt - \int 3\,dt = \frac{5}{2}\,t^2 - 3t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo t=0 na expressão geral:
y(0) = \frac{5}{2}\cdot 0^2 - 3\cdot 0 + C = C = 2.
Logo, C=2.

Resposta

y(t) = \frac{5}{2}\,t^2 - 3t + 2.

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