Determine os extremos locais (máximos, mínimos e pontos de sela), da função f(x, y)=4 x y-x^4-y^4 e os valores da função nesses pontos.

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=4xy - x^4 - y^4. O objetivo é achar os extremos locais (máximos, mínimos e pontos de sela), e para isso vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais, lembrando que ponto crítico é onde o gradiente zera:
fx = partial fpartial x = 4y - 4x^3, fy = partial fpartial y = 4x - 4y^3

Passo 3

Igualando a zero temos o sistema
4y - 4x^3 = 0 implies y = x^3,
4x - 4y^3 = 0 implies x = y^3
Substituindo y = x^3 em x = y^3 x = x^9, logo x(x^8 - 1)=0 e os reais são x=0,pm1. Isso gera os pontos críticos (0,0), (1,1) e (-1,-1).

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana
H(x,y)=fxx&fxyfyx&fyy = -12x^2 & 44 & -12y^2
Em (0,0) fica H=0&44&0 com autovalores +4 e -4, então ponto de sela.
Em (1,1) e (-1,-1) temos H=-12&44&-12 com autovalores -8 e -16, ambos negativos, caracterizando máximos locais.

Passo 5

Por fim, avaliamos f nesses pontos: f(0,0)=0, f(1,1)=4cdot1cdot1-1-1=2 e f(-1,-1)=2. Então temos dois máximos locais e um ponto de sela.

Resposta

Ponto de sela em (0,0) com f(0,0)=0; máximos locais em (1,1) e (-1,-1), ambos com f=2.

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