Considere a função f(x, y)=x^2 y^3-x^3 y^2+2 x y
Qual a inclinação da reta tangente à curva de interseção do gráfico de f com o plano x=1, no ponto (1,1,2) ? Justifique!

Passo 1

A questão dá a função de duas variáveis f(x,y)=x^2y^3 - x^3y^2 + 2xy e pede a inclinação da reta tangente à curva que obtemos ao cortar o gráfico de z=f(x,y) pelo plano x=1, no ponto (1,1,2). O conteúdo envolvido é interseção de superfícies e derivada de função de uma variável para achar coeficiente angular.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever a curva de interseção. No plano x=1, temos x=1 fixo e y livre. Então
z = f(1,y) = 1^2,y^3 - 1^3,y^2 + 2cdot1,y = y^3 - y^2 + 2y

Passo 3

A seguir, parametrizamos essa curva por y. Definimos
r(y) = (x(y),y(z),z(y)) = (1,;y,;y^3 - y^2 + 2y)

Passo 4

Para achar a direção da reta tangente, derivamos vetor r(y) em relação a y:
r'(y) = l(0,;1,;3y^2 - 2y + 2r)

Passo 5

No ponto (1,1,2) corresponde y=1. Então
r'(1) = l(0,;1,;3r)

Passo 6

Isso mostra que, ao variar y, z varia com coeficiente angular dz/dy = 3. Portanto a inclinação da reta tangente (no plano y!z) é 3.

Resposta

3

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