Determine se 
  é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
(f) 
Sol. não é conservativo
(f)
Sol. não é conservativo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial 
 . Precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial 
  tal que 
 . Para verificar isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e condições para campos conservativos.
Passo 2
Vamos lembrar que, para um campo vetorial 
  ser conservativo, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
- As derivadas parciais misturadas devem ser iguais, ou seja:
2. O campo deve ser definido em um domínio simplesmente conexo (sem “buracos”), mas como a questão não especifica o domínio, vamos focar na primeira condição. 
Passo 3
Identificamos as componentes 
  e 
  do campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando 
 :
Passo 5
Calculando 
 :
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais:
Passo 7
Vamos verificar se 
 :
Multiplicando ambos os lados por  (assumindo 
  e 
 ):
Multiplicando ambos os lados por
Isso implica que 
 , o que só é verdadeiro quando 
  e 
 . Mas isso não acontece para todos os pontos 
 , apenas na origem.
Passo 8
Como a igualdade 
  não é válida para todos os pontos do domínio (exceto na origem), concluímos que o campo vetorial 
  não é conservativo.
Resposta
Não é um campo vetorial conservativo.