Determine
tais que:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
tais que
Informações e o que temos disponível:
-
é o conjunto (grupo) das permutações do conjunto . Ou seja, cada elemento de é uma bijeção . - A composição
significa primeiro aplicar e depois : para todo ,
- A potência
de uma permutação é a composição .
O objetivo é escolher permutações específicase em e mostrar passo a passo que a desigualdade pedida realmente ocorre.
Passo 2
Explicando notação e propriedades que vou usar (bem mastigado):
- Notação em ciclo: por exemplo, o ciclo
significa a permutação que troca com e deixa fixo; isto é,
- Uma transposição (um 2-ciclo)
tem a propriedade , onde é a permutação identidade que deixa todos os elementos fixos. - Um 3-ciclo
satisfaz e , que é diferente da identidade. - Para verificar igualdades entre permutações é suficiente verificar as imagens de
ou escrever nas notações de ciclo.
Vou aproveitar essas propriedades para construir um exemplo simples.
Passo 3
Escolha explícita (escolhi as permutações mais simples que mostram a diferença):
Comentários rápidos sobre a escolha:
- Ambas são transposições; por isso
e . - A composição
tende a ser um 3-ciclo (veremos), cujo quadrado não é a identidade. Essa diferença é exatamente o que queremos.
Passo 4
Calcular
e
:
- Como
é transposição,
- Como
é transposição,
Logo
Passo 5
Calcular
aplicando elemento a elemento (lembre: primeiro
, depois
):
- Para
:
Logo
.
- Para
:
Logo
.
- Para
:
Logo
.
A partir dessas imagens vemos que
é o 3-ciclo
Passo 6
Calcular
:
- Como
, sabemos que
Essa permutação não é a identidade: por exemplo
.
Já vimos no Passo 4 que
Já vimos no Passo 4 que
Portanto
Assim encontramos
e
que satisfazem a desigualdade desejada.
Passo 7
Interpretação rápida e moral (útil pra prova): em grupos não comutativos (como
) não vale em geral a simplicidade de “elevar ao quadrado distribui pela composição”. Ou seja,
pode ser diferente de
. O exemplo construído explora o fato de que transposições têm quadrado igual à identidade, enquanto a composição delas pode ser um 3-ciclo cujo quadrado não é identidade — daí a desigualdade.