Determine f, g \in S^{3} tais que:
(f \circ g)^{2} \neq f^{2} \circ g^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar f,g\in S^{3} tais que
(f\circ g)^{2}\neq f^{2}\circ g^{2}.
Informações e o que temos disponível:
  • S^{3} é o conjunto (grupo) das permutações do conjunto \{1,2,3\}. Ou seja, cada elemento de S^{3} é uma bijeção \{1,2,3\}\to\{1,2,3\}.
  • A composição f\circ g significa primeiro aplicar g e depois f: para todo x\in\{1,2,3\},
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
  • A potência h^{2} de uma permutação h é a composição h\circ h.
    O objetivo é escolher permutações específicas f e g em S^{3} e mostrar passo a passo que a desigualdade pedida realmente ocorre.

Passo 2

Explicando notação e propriedades que vou usar (bem mastigado):
  • Notação em ciclo: por exemplo, o ciclo (1\;2) significa a permutação que troca 1 com 2 e deixa 3 fixo; isto é,
(1\;2):\quad 1\mapsto2,\;2\mapsto1,\;3\mapsto3.
  • Uma transposição (um 2-ciclo) (a\;b) tem a propriedade (a\;b)^{2}=\mathrm{id}, onde \mathrm{id} é a permutação identidade que deixa todos os elementos fixos.
  • Um 3-ciclo (1\;2\;3) satisfaz (1\;2\;3)^{3}=\mathrm{id} e (1\;2\;3)^{2}=(1\;3\;2), que é diferente da identidade.
  • Para verificar igualdades entre permutações é suficiente verificar as imagens de 1,2,3 ou escrever nas notações de ciclo.
Vou aproveitar essas propriedades para construir um exemplo simples.

Passo 3

Escolha explícita (escolhi as permutações mais simples que mostram a diferença):
f=(1\;2),\qquad g=(2\;3).
Comentários rápidos sobre a escolha:
  • Ambas são transposições; por isso f^{2}=\mathrm{id} e g^{2}=\mathrm{id}.
  • A composição f\circ g tende a ser um 3-ciclo (veremos), cujo quadrado não é a identidade. Essa diferença é exatamente o que queremos.

Passo 4

Calcular f^{2} e g^{2}:
  • Como f é transposição,
f^{2}=(1\;2)^{2}=\mathrm{id}.
  • Como g é transposição,
g^{2}=(2\;3)^{2}=\mathrm{id}.
Logo
f^{2}\circ g^{2}=\mathrm{id}\circ\mathrm{id}=\mathrm{id}.

Passo 5

Calcular f\circ g aplicando elemento a elemento (lembre: primeiro g, depois f):
  • Para x=1:
g(1)=1,\qquad f\big(g(1)\big)=f(1)=2.
Logo (f\circ g)(1)=2.
  • Para x=2:
g(2)=3,\qquad f\big(g(2)\big)=f(3)=3.
Logo (f\circ g)(2)=3.
  • Para x=3:
g(3)=2,\qquad f\big(g(3)\big)=f(2)=1.
Logo (f\circ g)(3)=1.
A partir dessas imagens vemos que f\circ g é o 3-ciclo
f\circ g=(1\;2\;3).

Passo 6

Calcular (f\circ g)^{2}:
  • Como f\circ g=(1\;2\;3), sabemos que
(f\circ g)^{2}=(1\;2\;3)^{2}=(1\;3\;2).
Essa permutação não é a identidade: por exemplo (f\circ g)^{2}(1)=3\neq1.
Já vimos no Passo 4 que
f^{2}\circ g^{2}=\mathrm{id}.
Portanto
(f\circ g)^{2}=(1\;3\;2)\neq\mathrm{id}=f^{2}\circ g^{2}.
Assim encontramos f e g que satisfazem a desigualdade desejada.

Passo 7

Interpretação rápida e moral (útil pra prova): em grupos não comutativos (como S^{3}) não vale em geral a simplicidade de “elevar ao quadrado distribui pela composição”. Ou seja, (f\circ g)^{2} pode ser diferente de f^{2}\circ g^{2}. O exemplo construído explora o fato de que transposições têm quadrado igual à identidade, enquanto a composição delas pode ser um 3-ciclo cujo quadrado não é identidade — daí a desigualdade.

Resposta

f=(1\;2)
g=(2\;3)

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