Determine f^{\prime}, f^{\prime \prime} e f^{\prime \prime \prime}.
f(x)=2 x^{2} \cos (x)-\frac{4 e^{x}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras derivadas de
f(x)=2x^{2}\cos(x)\;-\;\frac{4e^{x}}{x^{3}}.
O conteúdo envolve regra do produto (para 2x^{2}\cos(x)), regra da quociente ou produto com potência (para \tfrac{4e^{x}}{x^{3}}), além da soma e da regra da cadeia para e^{x}.

Passo 2

Vamos primeiro calcular f'(x). Escrevemos
f(x)=u(x)-v(x),
com u(x)=2x^{2}\cos(x) e v(x)=4e^{x}x^{-3}.
Para u(x) aplicamos produto:
u'(x)=2\bigl(2x\cos(x)-x^{2}\sin(x)\bigr)=4x\cos(x)-2x^{2}\sin(x).
Para v(x) aplicamos produto com 4 constante:
v'(x)=4\bigl(e^{x}x^{-3}\bigr)' =4\bigl(e^{x}x^{-3}-3e^{x}x^{-4}\bigr) =4e^{x}x^{-3}-12e^{x}x^{-4}.
Logo,
f'(x)=u'(x)-v'(x) =4x\cos(x)-2x^{2}\sin(x) -\bigl(4e^{x}x^{-3}-12e^{x}x^{-4}\bigr),
ou simplificando,
f'(x)=4x\cos(x)-2x^{2}\sin(x) -\frac{4e^{x}}{x^{3}}+\frac{12e^{x}}{x^{4}}.

Passo 3

Agora f''(x) obtém-se derivando cada termo de f'(x):
  1. \bigl(4x\cos(x)\bigr)'=4\cos(x)-4x\sin(x).
  2. \bigl(-2x^{2}\sin(x)\bigr)'=-4x\sin(x)-2x^{2}\cos(x).
  3. \bigl(-4e^{x}x^{-3}\bigr)'=-4e^{x}x^{-3}+12e^{x}x^{-4}.
  4. \bigl(12e^{x}x^{-4}\bigr)'=12e^{x}x^{-4}-48e^{x}x^{-5}.
    Somando tudo:
f''(x)=4\cos(x)-8x\sin(x)-2x^{2}\cos(x) -\frac{4e^{x}}{x^{3}}+\frac{24e^{x}}{x^{4}}-\frac{48e^{x}}{x^{5}}.

Passo 4

Por fim, f'''(x) deriva cada termo de f''(x):
  1. \bigl(4\cos(x)\bigr)'=-4\sin(x).
  2. \bigl(-8x\sin(x)\bigr)'=-8\sin(x)-8x\cos(x).
  3. \bigl(-2x^{2}\cos(x)\bigr)'=-4x\cos(x)+2x^{2}\sin(x).
  4. \bigl(-4e^{x}x^{-3}\bigr)'=-4e^{x}x^{-3}+12e^{x}x^{-4}.
  5. \bigl(24e^{x}x^{-4}\bigr)'=24e^{x}x^{-4}-96e^{x}x^{-5}.
  6. \bigl(-48e^{x}x^{-5}\bigr)'=-48e^{x}x^{-5}+240e^{x}x^{-6}.
    Agrupando:
f'''(x)=-12\sin(x)-12x\cos(x)+2x^{2}\sin(x) -\frac{4e^{x}}{x^{3}}+\frac{36e^{x}}{x^{4}} -\frac{144e^{x}}{x^{5}}+\frac{240e^{x}}{x^{6}}.

Resposta

f'(x)=4x\cos(x)-2x^{2}\sin(x) -\frac{4e^{x}}{x^{3}}+\frac{12e^{x}}{x^{4}},
f''(x)=4\cos(x)-8x\sin(x)-2x^{2}\cos(x) -\frac{4e^{x}}{x^{3}}+\frac{24e^{x}}{x^{4}}-\frac{48e^{x}}{x^{5}},
f'''(x)=-12\sin(x)-12x\cos(x)+2x^{2}\sin(x) -\frac{4e^{x}}{x^{3}}+\frac{36e^{x}}{x^{4}} -\frac{144e^{x}}{x^{5}}+\frac{240e^{x}}{x^{6}}.

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