Determine f^{\prime}, f^{\prime \prime} e f^{\prime \prime \prime}.
f(x)=5 x^{4}+3(x-2)^{2}-\ln \left(x^{2}+1\right)+1

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras derivadas de
f(x)=5x^{4}+3(x-2)^{2}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+1.
Vamos usar regra da soma, regra do poder, regra da cadeia e derivada de \ln(u), que é u'/u.

Passo 2

Calculando f'(x):
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(5x^{4}\bigr)=20x^{3} (regra do poder),
  • \dfrac{d}{dx}\bigl[3(x-2)^{2}\bigr]=3\cdot2(x-2)=6(x-2),
  • \dfrac{d}{dx}\bigl[-\ln(x^{2}+1)\bigr]=-\,\frac{2x}{x^{2}+1},
  • a derivada de constante é zero.
    Logo,
f'(x)=20x^{3}+6(x-2)\;-\;\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora f''(x):
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(20x^{3}\bigr)=60x^{2},
  • \dfrac{d}{dx}\bigl[6(x-2)\bigr]=6,
  • \dfrac{d}{dx}\Bigl(-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr) reescrevemos como -2x\,(x^{2}+1)^{-1} e aplicamos produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\Bigl[-2x\,(x^{2}+1)^{-1}\Bigr] =-2\,(x^{2}+1)^{-1} +(-2x)\bigl(-1\bigr)(x^{2}+1)^{-2}\cdot2x =-\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Somando tudo e combinando termos em comum,
-\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{-2(x^{2}+1)+4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2(x^{2}-1)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Portanto
f''(x)=60x^{2}+6+\frac{2(x^{2}-1)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Finalmente f'''(x). Derivamos termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(60x^{2}\bigr)=120x,
  • \dfrac{d}{dx}(6)=0,
  • \dfrac{d}{dx}\!\Bigl[\tfrac{2(x^{2}-1)}{(x^{2}+1)^{2}}\Bigr].
    Defina T(x)=2(x^{2}-1)(x^{2}+1)^{-2}. Então
T'(x) =2\Bigl[2x\,(x^{2}+1)^{-2}+(x^{2}-1)\,(-2)(x^{2}+1)^{-3}\cdot2x\Bigr] =4x(x^{2}+1)^{-2}-8x(x^{2}-1)(x^{2}+1)^{-3}.
Fatorando 4x(x^{2}+1)^{-3}:
T'(x) =4x(x^{2}+1)^{-3}\bigl[(x^{2}+1)-2(x^{2}-1)\bigr] =4x\frac{3-x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}.
Logo
f'''(x)=120x+\;4x\,\frac{3-x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}.

Resposta

f'(x)=20x^{3}+6(x-2)-\dfrac{2x}{x^{2}+1}
f''(x)=60x^{2}+6+\dfrac{2(x^{2}-1)}{(x^{2}+1)^{2}}
f'''(x)=120x+4x\,\dfrac{3-x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}

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