Determine f.
f^{\prime}(x)=\sqrt{x}-2, f(9)=4

Passo 1

O enunciado dá a derivada e uma condição inicial. Escrevendo em TeX:
f'(x)=\sqrt{x}-2,\qquad f(9)=4.
O que nos pediram: determinar a função f inteira (ou seja, achar f(x)) que tem essa derivada e satisfaz a condição f(9)=4.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): se conhecemos f'(x), então f é uma primitiva (ou antiderivada) de f'(x). Isso significa que
f(x)=\int f'(x)\,dx + C,
onde C é uma constante arbitrária chamada constante de integração. Depois vamos usar f(9)=4 para encontrar C.
Explicando a regra que vamos usar: a regra da potência para integrais diz que, para qualquer n\neq -1,
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável e n é o expoente. Exemplo rápido: \int x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3}+C.

Passo 3

Reescrevo \sqrt{x} como potência para aplicar a regra da potência:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Agora integro termo a termo:
\int\bigl(\sqrt{x}-2\bigr)\,dx=\int x^{1/2}\,dx-\int 2\,dx.
Usando a regra da potência para \int x^{1/2}\,dx com n=\tfrac12:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
E \int 2\,dx=2x. Portanto a primitiva geral é
f(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x+C,
onde C é constante a ser determinada.

Passo 4

Agora uso a condição f(9)=4 para achar C. Primeiro calcule 9^{3/2}:
9^{3/2}=\bigl(9^{1/2}\bigr)^3=(\sqrt{9})^3=3^3=27.
Substituo x=9 em f(x):
f(9)=\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-2\cdot 9 + C=\frac{2}{3}\cdot 27 - 18 + C.
Calculo \frac{2}{3}\cdot 27=18, então
f(9)=18-18+C=C.
Como f(9)=4, obtemos C=4.

Passo 5

Substituindo C=4 na primitiva geral, a função procurada é
f(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x+4.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivo f para checar se volta à derivada dada.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x},
\frac{d}{dx}(-2x)=-2,\qquad \frac{d}{dx}(4)=0,
logo f'(x)=\sqrt{x}-2, como precisava. Tudo confere.

Resposta

f(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x+4

Exercícios relacionados