Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada e uma condição inicial. Escrevendo em TeX:
O que nos pediram: determinar a função
inteira (ou seja, achar
) que tem essa derivada e satisfaz a condição
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): se conhecemos
, então
é uma primitiva (ou antiderivada) de
. Isso significa que
onde
é uma constante arbitrária chamada constante de integração. Depois vamos usar
para encontrar
.
Explicando a regra que vamos usar: a regra da potência para integrais diz que, para qualquer
,
Aqui
é a variável e
é o expoente. Exemplo rápido:
.
Passo 3
Reescrevo
como potência para aplicar a regra da potência:
Agora integro termo a termo:
Usando a regra da potência para
com
:
E
. Portanto a primitiva geral é
onde
é constante a ser determinada.
Passo 4
Agora uso a condição
para achar
. Primeiro calcule
:
Substituo
em
:
Calculo
, então
Como
, obtemos
.
Passo 5
Substituindo
na primitiva geral, a função procurada é
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivo
para checar se volta à derivada dada.
logo
, como precisava. Tudo confere.