Determine f.
f^{\prime \prime \prime}(t)=15 \sqrt{t}-2 \cos (t), f(0)=2, f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece a derivada terceira de uma função f e valores iniciais, e pede para determinar f. Dados e perguntas temos:
  • Dado: f^{\prime\prime\prime}(t)=15\sqrt{t}-2\cos(t).
  • Condições iniciais: f(0)=2, f^{\prime}(0)=1, f^{\prime\prime}(0)=0.
  • Pergunta: encontrar explicitamente a função f(t).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para obter f a partir de f^{\prime\prime\prime} integramos três vezes, introduzindo constantes de integração a cada integração. Em seguida usamos as condições iniciais para determinar essas constantes.
Antes de integrar, relembrando regras de integração que vamos usar:
  • Regra do poder: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui, \sqrt{t}=t^{1/2}, então aplicamos essa regra com n=\tfrac{1}{2}.
  • Antiderivada de \cos(t): sabemos que \frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t), portanto
\int \cos(t)\,dt=\sin(t)+C.
  • Antiderivada de \sin(t): como \frac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t), temos
\int \sin(t)\,dt=-\cos(t)+C.
  • Constantes somam normalmente e cada integração adiciona uma constante de integração.

Passo 3

Primeira integração: calcular f^{\prime\prime}(t)=\int f^{\prime\prime\prime}(t)\,dt.
Começamos integrando termo a termo:
\int 15\sqrt{t}\,dt=15\int t^{1/2}\,dt=15\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2}=15\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}=10t^{3/2}.
E
\int (-2\cos t)\,dt=-2\int \cos t\,dt=-2\sin t.
Portanto, somando e incluindo a constante de integração C_1,
f^{\prime\prime}(t)=10t^{3/2}-2\sin t + C_1.

Passo 4

Determinar C_1 usando a condição f^{\prime\prime}(0)=0.
Avaliaremos f^{\prime\prime}(t) em t=0. Note que t^{3/2} em t=0 é 0 e \sin(0)=0, então
f^{\prime\prime}(0)=10\cdot 0 - 2\cdot 0 + C_1 = C_1.
Como f^{\prime\prime}(0)=0, obtemos C_1=0. Assim
f^{\prime\prime}(t)=10t^{3/2}-2\sin t.

Passo 5

Segunda integração: calcular f^{\prime}(t)=\int f^{\prime\prime}(t)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int 10t^{3/2}\,dt=10\int t^{3/2}\,dt=10\cdot\frac{t^{5/2}}{5/2}=10\cdot\frac{2}{5}t^{5/2}=4t^{5/2}.
E
\int (-2\sin t)\,dt=-2\int \sin t\,dt=-2(-\cos t)=2\cos t.
Incluímos a constante de integração C_2, obtendo
f^{\prime}(t)=4t^{5/2}+2\cos t + C_2.

Passo 6

Determinar C_2 usando f^{\prime}(0)=1.
Avaliaremos f^{\prime}(t) em t=0. Temos t^{5/2}=0 em t=0 e \cos(0)=1, então
f^{\prime}(0)=4\cdot 0 + 2\cdot 1 + C_2 = 2 + C_2.
Como f^{\prime}(0)=1, segue 2 + C_2 = 1, logo C_2=-1. Portanto
f^{\prime}(t)=4t^{5/2}+2\cos t - 1.

Passo 7

Terceira integração: calcular f(t)=\int f^{\prime}(t)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int 4t^{5/2}\,dt=4\int t^{5/2}\,dt=4\cdot\frac{t^{7/2}}{7/2}=4\cdot\frac{2}{7}t^{7/2}=\frac{8}{7}t^{7/2}.
\int 2\cos t\,dt=2\sin t.
\int (-1)\,dt=-t.
Adicionando a constante de integração C_3, obtemos
f(t)=\frac{8}{7}t^{7/2}+2\sin t - t + C_3.

Passo 8

Determinar C_3 usando f(0)=2.
Avaliaremos f(t) em t=0. Como t^{7/2}=0 e \sin(0)=0, temos
f(0)=\frac{8}{7}\cdot 0 + 2\cdot 0 - 0 + C_3 = C_3.
Como f(0)=2, segue C_3=2. Assim a função pedida é
f(t)=\frac{8}{7}t^{7/2}+2\sin t - t + 2.

Resposta

f(t)=\frac{8}{7}t^{7/2}+2\sin t - t + 2

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