Determine
.
Passo 1
O enunciado fornece a derivada terceira de uma função
e valores iniciais, e pede para determinar
. Dados e perguntas temos:
- Dado:
. - Condições iniciais:
, , . - Pergunta: encontrar explicitamente a função
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para obter
a partir de
integramos três vezes, introduzindo constantes de integração a cada integração. Em seguida usamos as condições iniciais para determinar essas constantes.
Antes de integrar, relembrando regras de integração que vamos usar:
- Regra do poder: para
,
Aqui,
, então aplicamos essa regra com
.
- Antiderivada de
: sabemos que , portanto
- Antiderivada de
: como , temos
- Constantes somam normalmente e cada integração adiciona uma constante de integração.
Passo 3
Primeira integração: calcular
.
Começamos integrando termo a termo:
E
Portanto, somando e incluindo a constante de integração
,
Passo 4
Determinar
usando a condição
.
Avaliaremos
em
. Note que
em
é
e
, então
Como
, obtemos
. Assim
Passo 5
Segunda integração: calcular
.
Integramos termo a termo:
E
Incluímos a constante de integração
, obtendo
Passo 6
Determinar
usando
.
Avaliaremos
em
. Temos
em
e
, então
Como
, segue
, logo
. Portanto
Passo 7
Terceira integração: calcular
.
Integramos termo a termo:
Adicionando a constante de integração
, obtemos
Passo 8
Determinar
usando
.
Avaliaremos
em
. Como
e
, temos
Como
, segue
. Assim a função pedida é