Determine quando f^{\prime}(z) existe se
f(z)=z \operatorname{Re}(z),
onde \operatorname{Re}(z) denota a parte real de z.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine para quais pontos z a derivada complexa f^{\prime}(z) existe, onde a função é
f(z)=z\,\operatorname{Re}(z).
Informações dadas e o que devemos usar (sem ainda resolver):
  • A função usa \operatorname{Re}(z), que é a parte real de z.
  • Devemos decidir em que pontos da reta complexa (plano complexo) a derivada complexa existe — isto é, onde f é complexamente diferenciável.
  • Não foi dada nenhuma outra condição; temos liberdade para reescrever f em termos de x e y e aplicar critérios de diferenciabilidade.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas reais: ponha
z=x+iy,
onde x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z). Usando isso, \operatorname{Re}(z)=x, então
f(z)=z\,\operatorname{Re}(z)=(x+iy)\,x = x^2 + i\,xy.
Agora separamos a parte real e imaginária de f:
u(x,y)=x^2,\qquad v(x,y)=x y,
ou seja, f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y).

Passo 3

Rápida explicação didática sobre diferenciabilidade complexa e as equações de Cauchy–Riemann (CR):
  • A derivada complexa f^{\prime}(z_0) existe se o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}
existe e é o mesmo para todas as direções de chegada de h no plano complexo.
  • Uma ferramenta prática: se u e v têm derivadas parciais que são contínuas numa vizinhança de z_0, então a existência de f^{\prime}(z_0) implica que as equações de Cauchy–Riemann valem em (x_0,y_0), e se as CR valem em (x_0,y_0) e as derivadas parciais são contínuas, então f é diferenciável em z_0. As equações CR são:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x,
onde u_x é a derivada parcial de u em relação a x, etc. Vou usar esse critério porque as derivadas parciais de u e v aqui são polinomiais (logo contínuas).

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de u e v (mostrando passo a passo):
u(x,y)=x^2 \quad\Rightarrow\quad u_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}x^2=2x,\qquad u_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}x^2=0.
v(x,y)=xy \quad\Rightarrow\quad v_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y,\qquad v_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.

Passo 5

Impondo as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y \quad\Rightarrow\quad 2x = x,
u_y = -v_x \quad\Rightarrow\quad 0 = -y.
Resolvendo 2x = x x=0. Resolvendo 0 = -y y=0. Portanto, as equações CR são satisfeitas apenas no ponto (x,y)=(0,0), isto é, apenas em z=0.

Passo 6

Como as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y são contínuas em todo o plano (são polinômios), o teorema de Cauchy–Riemann garante que:
  • se f for complexamente diferenciável num ponto então as CR devem valer nesse ponto (necessidade), e
  • se as CR valem num ponto e as parciais são contínuas numa vizinhança, então f é diferenciável naquele ponto (suficiência).
    Como vimos, as CR valem só em z=0 e as parciais são contínuas, concluímos que f pode ser diferenciável somente em z=0, e de fato é diferenciável em z=0.

Passo 7

Vamos calcular explicitamente f^{\prime}(0) de duas maneiras (para reforçar a intuição):
Forma 1 — pela fórmula que aparece quando as CR valem:
quando CR valem, a derivada complexa pode ser escrita como
f'(z)=u_x + i v_x.
Em (0,0) temos u_x(0,0)=2\cdot 0=0 e v_x(0,0)=y\big|_{(0,0)}=0. Logo
f'(0)=0 + i\cdot 0 = 0.
Forma 2 — pela definição do limite:
f'(0)=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z}=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)}{z}.
Mas \displaystyle\frac{f(z)}{z}=\operatorname{Re}(z)=x. Ao levar z\to 0 temos x\to 0, então o limite é 0. Concorda com o item anterior.

Passo 8

Para ficar totalmente convincente sobre a não existência da derivada em pontos z_0\neq 0, mostro que a diferença quociente depende da direção (ou seja, limites diferentes ao longo de caminhos distintos). Tome z_0=x_0+i y_0 com (x_0,y_0)\neq(0,0).
  • Se aproximarmos por incrementos reais h\in\mathbb{R}, então
\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} \longrightarrow 2x_0 + i y_0 \quad\text{quando }h\to 0,\\ h\in\mathbb{R}.
(este cálculo vem de desenvolver (x_0+h)^2-x_0^2 e dividir por h).
  • Se aproximarmos por incrementos puramente imaginários h=it com t\in\mathbb{R}, então
\frac{f(z_0+it)-f(z_0)}{it} \longrightarrow x_0 \quad\text{quando }t\to 0.
Esses dois limites são iguais somente se 2x_0 + i y_0 = x_0, o que força x_0=0 e y_0=0. Assim para qualquer ponto distinto de 0 os limites dependem da direção e a derivada não existe.

Resposta

f^{\prime}(z) existe somente em z=0, e f^{\prime}(0)=0.

Exercícios relacionados