Mostre que f(z)=\operatorname{Re}(z), isto é, a função que envia cada número complexo à sua parte real, não é diferenciável em nenhum ponto z \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que f(z)=\operatorname{Re}(z) não é diferenciável em nenhum ponto z\in\mathbb{C}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Para z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} temos f(z)=\operatorname{Re}(z)=x.
  • Precisamos provar que, para todo ponto z_0\in\mathbb{C}, o limite que define a derivada complexa de f em z_0 não existe.

Passo 2

Definição e ideia-chave (explicada de forma prática). A função f é diferenciável em z_0 se existir o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}
no sentido complexo. Isso significa que, quando h vai para 0 por qualquer caminho no plano complexo, o quociente acima deve tender ao mesmo número complexo. Se acharmos duas formas de aproximar 0 (dois “caminhos”) que dão limites diferentes, então o limite completo não existe e f não é diferenciável em z_0.

Passo 3

Pegue um ponto arbitrário z_0=x_0+i y_0. Vamos calcular o quociente diferencial aproximando h\to0 por valores reais. Seja h=t com t\in\mathbb{R}, t\to0. Então:
f(z_0+t)=\operatorname{Re}(z_0+t)=\operatorname{Re}(x_0+i y_0 + t)=x_0+t.
Portanto o quociente é
\frac{f(z_0+t)-f(z_0)}{t}=\frac{(x_0+t)-x_0}{t}=1.
Logo, ao aproximar h por números reais, o quociente tende a 1.

Passo 4

Agora aproxime h\to0 por valores puramente imaginários. Seja h=i t com t\in\mathbb{R}, t\to0. Então:
f(z_0+i t)=\operatorname{Re}(z_0+i t)=\operatorname{Re}(x_0+i(y_0+t))=x_0.
O quociente fica
\frac{f(z_0+i t)-f(z_0)}{i t}=\frac{x_0-x_0}{i t}=0.
Logo, ao aproximar h por números puramente imaginários, o quociente tende a 0.

Passo 5

Conclusão a partir das duas aproximações. Como aproximando h por reais o quociente tende a 1 e aproximando por imaginários tende a 0, os dois limites são diferentes. Portanto o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}
não existe. Isso prova que f não é diferenciável no ponto arbitrário z_0. Como z_0 foi escolhido de forma arbitrária, f não é diferenciável em nenhum ponto de \mathbb{C}.

Passo 6

(Argumento alternativo usando as equações de Cauchy–Riemann, explicado passo a passo.) Escrevemos f=u+iv com u(x,y)=x e v(x,y)=0. Calcule as derivadas parciais (estas são constantes, logo contínuas):
u_x=1,\quad u_y=0,\quad v_x=0,\quad v_y=0.
As equações de Cauchy–Riemann exigem, se f fosse diferenciável num ponto e as parciais fossem contínuas, que
u_x=v_y\quad\text{e}\quad u_y=-v_x.
Substituindo as derivadas parciais obtemos 1=v_y=0, uma contradição. Logo não há ponto onde as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas; portanto f não é diferenciável em nenhum ponto. (Usei aqui o fato de que as parciais são contínuas para aplicar a condição necessária das equações de Cauchy–Riemann.)

Resposta

\text{A função }f(z)=\operatorname{Re}(z)\text{ não é diferenciável em nenhum }z\in\mathbb{C}.çããéá

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