Mostre que
, isto é, a função que envia cada número complexo à sua parte real, não é diferenciável em nenhum ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não é diferenciável em nenhum ponto
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- Para
com temos . - Precisamos provar que, para todo ponto
, o limite que define a derivada complexa de em não existe.
Passo 2
Definição e ideia-chave (explicada de forma prática). A função
é diferenciável em
se existir o limite
no sentido complexo. Isso significa que, quando
vai para
por qualquer caminho no plano complexo, o quociente acima deve tender ao mesmo número complexo. Se acharmos duas formas de aproximar
(dois “caminhos”) que dão limites diferentes, então o limite completo não existe e
não é diferenciável em
.
Passo 3
Pegue um ponto arbitrário
. Vamos calcular o quociente diferencial aproximando
por valores reais. Seja
com
,
. Então:
Portanto o quociente é
Logo, ao aproximar
por números reais, o quociente tende a
.
Passo 4
Agora aproxime
por valores puramente imaginários. Seja
com
,
. Então:
O quociente fica
Logo, ao aproximar
por números puramente imaginários, o quociente tende a
.
Passo 5
Conclusão a partir das duas aproximações. Como aproximando
por reais o quociente tende a
e aproximando por imaginários tende a
, os dois limites são diferentes. Portanto o limite
não existe. Isso prova que
não é diferenciável no ponto arbitrário
. Como
foi escolhido de forma arbitrária,
não é diferenciável em nenhum ponto de
.
Passo 6
(Argumento alternativo usando as equações de Cauchy–Riemann, explicado passo a passo.) Escrevemos
com
e
. Calcule as derivadas parciais (estas são constantes, logo contínuas):
As equações de Cauchy–Riemann exigem, se
fosse diferenciável num ponto e as parciais fossem contínuas, que
Substituindo as derivadas parciais obtemos
, uma contradição. Logo não há ponto onde as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas; portanto
não é diferenciável em nenhum ponto. (Usei aqui o fato de que as parciais são contínuas para aplicar a condição necessária das equações de Cauchy–Riemann.)