Determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais
e
. Informação importante sobre o domínio: a função só está definida quando
(pois o denominador
não pode ser zero).
Passo 2
O que é derivada parcial? Uma derivada parcial em relação a
mede a variação de
quando
varia e
é mantido constante. Analogamente, a derivada parcial em relação a
mede a variação de
quando
varia e
é mantido constante. Formalmente, por exemplo,
mas na prática usamos técnicas de diferenciação (como a regra do quociente) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Vou explicar a regra do quociente (útil aqui). Se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui aplicamos essa regra tomando
para
(tratando
como constante) e tomando
para
(tratando
como constante).
Passo 4
Cálculo de
.
Trato como constante. Defino
Trato
Então
e
. Aplicando a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Agora trato como constante. Defino
Agora trato
Então
e
(porque a derivada de
em relação a
é
). Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida por manipulação algébrica alternativa (opcional, só para conferir): escreve-se
Diferenciando esta expressão em relação a
(com
constante) obtém-se
e em relação a
(com
constante) obtém-se
(essa forma exige cuidado ao derivar; a aplicação direta da regra do quociente feita acima é mais simples e segura). O resultado final coincide com os já obtidos.