Determine
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais
e
da função
Informações dadas:
- A função está escrita como uma raiz quadrada do argumento
. - É preciso calcular duas coisas: a derivada parcial em relação a
(mantendo constante) e a derivada parcial em relação a (mantendo constante).
Passo 2
Estratégia e ideia usada (sem resolver ainda):
- É útil reconhecer o “interior” da raiz como uma função auxiliar. Definimos
- Então
. - Para derivar
em relação a ou usamos a regra da cadeia: para ,
- Nas derivadas parciais de
tratamos a outra variável como constante (por exemplo, ao calcular consideramos constante).
Passo 3
Calcular
.
Escrevendo como produto para facilitar:
Escrevendo
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Podemos fatorar um pouco:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para
.
Usando
Usando
substituindo
e
:
Simplificando (colocando a raiz no denominador):
Também podemos escrever, fatorando
:
Passo 5
Calcular
.
A partir de , derivando em relação a
(agora
é constante):
A partir de
Fatorando:
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para
.
Usando
Usando
substituindo
e
:
Colocando em forma com raiz no denominador:
E, fatorando
:
Passo 7
Resumo final (formas equivalentes úteis na prova) e observação rápida:
- Formas com numeradores expandidos ou fatorados são equivalentes; escolha a que preferir para simplificar com cuidado.
- Nota sobre domínio: as expressões usam
no denominador, então o argumento da raiz deve ser positivo para que tudo esteja definido de forma real e o denominador não seja zero.