Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y).
f(x, y)=\sqrt{3 x^{5} y-7 x^{3} y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) da função
f(x,y)=\sqrt{3x^{5}y-7x^{3}y}.
Informações dadas:
  • A função está escrita como uma raiz quadrada do argumento 3x^{5}y-7x^{3}y.
  • É preciso calcular duas coisas: a derivada parcial em relação a x (mantendo y constante) e a derivada parcial em relação a y (mantendo x constante).

Passo 2

Estratégia e ideia usada (sem resolver ainda):
  • É útil reconhecer o “interior” da raiz como uma função auxiliar. Definimos
u(x,y)=3x^{5}y-7x^{3}y.
  • Então f(x,y)=\sqrt{u(x,y)}=u(x,y)^{1/2}.
  • Para derivar f em relação a x ou y usamos a regra da cadeia: para f= u^{1/2},
\frac{\partial f}{\partial x}=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\frac{\partial u}{\partial y}.
  • Nas derivadas parciais de u tratamos a outra variável como constante (por exemplo, ao calcular \partial u/\partial x consideramos y constante).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Escrevendo u como produto para facilitar:
u(x,y)=y\bigl(3x^{5}-7x^{3}\bigr).
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=y\bigl(15x^{4}-21x^{2}\bigr).
Podemos fatorar um pouco:
\frac{\partial u}{\partial x}=3y x^{2}\bigl(5x^{2}-7\bigr).

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Usando
\frac{\partial f}{\partial x}=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\frac{\partial u}{\partial x},
substituindo u e \partial u/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}\bigl(3x^{5}y-7x^{3}y\bigr)^{-1/2}\cdot y\bigl(15x^{4}-21x^{2}\bigr).
Simplificando (colocando a raiz no denominador):
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y\bigl(15x^{4}-21x^{2}\bigr)}{2\sqrt{3x^{5}y-7x^{3}y}}.
Também podemos escrever, fatorando 3x^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{3y x^{2}\bigl(5x^{2}-7\bigr)}{2\sqrt{3x^{5}y-7x^{3}y}}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial y}.
A partir de u(x,y)=3x^{5}y-7x^{3}y, derivando em relação a y (agora x é constante):
\frac{\partial u}{\partial y}=3x^{5}-7x^{3}.
Fatorando:
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{3}\bigl(3x^{2}-7\bigr).

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Usando
\frac{\partial f}{\partial y}=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\frac{\partial u}{\partial y},
substituindo u e \partial u/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2}\bigl(3x^{5}y-7x^{3}y\bigr)^{-1/2}\cdot\bigl(3x^{5}-7x^{3}\bigr).
Colocando em forma com raiz no denominador:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{3x^{5}-7x^{3}}{2\sqrt{3x^{5}y-7x^{3}y}}.
E, fatorando x^{3}:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x^{3}\bigl(3x^{2}-7\bigr)}{2\sqrt{3x^{5}y-7x^{3}y}}.

Passo 7

Resumo final (formas equivalentes úteis na prova) e observação rápida:
  • Formas com numeradores expandidos ou fatorados são equivalentes; escolha a que preferir para simplificar com cuidado.
  • Nota sobre domínio: as expressões usam \sqrt{3x^{5}y-7x^{3}y} no denominador, então o argumento da raiz deve ser positivo para que tudo esteja definido de forma real e o denominador não seja zero.

Resposta

\displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{y\bigl(15x^{4}-21x^{2}\bigr)}{2\sqrt{3x^{5}y-7x^{3}y}}
\displaystyle f_{y}(x,y)=\frac{3x^{5}-7x^{3}}{2\sqrt{3x^{5}y-7x^{3}y}}

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