Determine:
f_{x y}(2,0,1), onde f(x, y, z)=\frac{x}{x+y+z}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista \displaystyle f_{xy}(2,0,1)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(2,0,1)
da função
f(x,y,z)=\frac{x}{\,x+y+z\,}.
O conteúdo é diferenciação de funções de várias variáveis, usando a regra do quociente e a trocabilidade de derivadas mistas.

Passo 2

Primeiro calculamos \displaystyle f_x=\frac{\partial}{\partial x}\!\biggl(\frac{x}{S}\biggr) com S=x+y+z.
Pela regra do quociente,
f_x =\frac{1\cdot S - x\cdot1}{S^2} =\frac{S - x}{S^2} =\frac{y+z}{(x+y+z)^2}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x).
Escrevendo N=y+z e D=(x+y+z)^2, temos \partial_y N=1 e \partial_y D=2(x+y+z).
Pela regra do quociente,
f_{xy} =\frac{1\cdot D - N\cdot2(x+y+z)}{D^2} =\frac{(x+y+z)^2 - 2(x+y+z)(y+z)}{(x+y+z)^4} =\frac{x+y+z - 2(y+z)}{(x+y+z)^3} =\frac{x - y - z}{(x+y+z)^3}.

Passo 4

Avaliaremos em (x,y,z)=(2,0,1):
f_{xy}(2,0,1) =\frac{2 - 0 - 1}{(2+0+1)^3} =\frac{1}{3^3} =\frac{1}{27}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{27}

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