Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{(x-1)^{\frac{4}{3}}-(y-1)^{\frac{4}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}-(y-1)^{\frac{2}{3}}}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{(x-1)^{\frac{4}{3}}-(y-1)^{\frac{4}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}-(y-1)^{\frac{2}{3}}},
ou seja, um limite de função de duas variáveis. Vamos usar as seguintes ferramentas:
– Teorema de fatoração de diferenças de potências;
– Teorema da soma e produto de limites;
– Continuidade das funções t\mapsto t^{\frac{2}{3}} e t\mapsto t^{\frac{4}{3}}.

Passo 2

Defina as variáveis auxiliares
u = (x-1)^{\frac{2}{3}}, \quad v = (y-1)^{\frac{2}{3}}.
Como (x,y)\to(1,1), temos x-1\to0 e y-1\to0. Pela continuidade de t\mapsto t^{2/3}, segue
u\to0, \quad v\to0.

Passo 3

Reescreva numerador e denominador em função de u e v. Note que (x-1)^{\frac{4}{3}} = \bigl((x-1)^{\frac{2}{3}}\bigr)^2 = u^2
e (y-1)^{\frac{4}{3}} = v^2.
Logo a expressão fica
\frac{u^2 - v^2}{u - v}.
Pelo teorema de fatoração de diferenças de quadrados, para u\neq v,
u^2 - v^2 = (u - v)(u + v),
então
\frac{u^2 - v^2}{u - v} = u + v.

Passo 4

Agora usamos o teorema da soma de limites. Como u\to0 e v\to0, segue
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\bigl(u+v\bigr) = \lim u + \lim v = 0 + 0 = 0.
Esse resultado independe da forma de aproximação (contanto que u\neq v), e portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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