Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
.
Passo 1
O enunciado pede
ou seja, um limite de função de duas variáveis. Vamos usar as seguintes ferramentas:
– Teorema de fatoração de diferenças de potências;
– Teorema da soma e produto de limites;
– Continuidade das funções e
.
– Teorema de fatoração de diferenças de potências;
– Teorema da soma e produto de limites;
– Continuidade das funções
Passo 2
Defina as variáveis auxiliares
Como
, temos
e
. Pela continuidade de
, segue
Passo 3
Reescreva numerador e denominador em função de
e
. Note que
e .
Logo a expressão fica
e
Logo a expressão fica
Pelo teorema de fatoração de diferenças de quadrados, para
,
então
Passo 4
Agora usamos o teorema da soma de limites. Como
e
, segue
Esse resultado independe da forma de aproximação (contanto que
), e portanto o limite existe e vale
.