Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio e fazer um esboço do domínio da função
Informações dadas relevantes:
Perguntas explícitas que devo responder:
- Quais são os pares
para os quais está bem definida (domínio)? - Como esboçar geometricamente esse conjunto no plano
?
Passo 2
Princípio básico que usamos: para a raiz quadrada real estar definida precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter simultaneamente
e
Essas duas desigualdades são as condições necessárias e suficientes para que
seja um número real.
Passo 3
Analiso a primeira desigualdade
Reescrevendo:
Esta é a equação conhecida de um disco fechado centrado na origem com raio
: todos os pontos do plano cuja distância ao centro
é menor ou igual a
.
Passo 4
Agora a segunda desigualdade:
Reescrevendo:
o que equivale a
Geometricamente isto é uma faixa vertical (um “strip”) do plano limitada pelas retas verticais
e
.
Passo 5
O domínio é a interseção das duas regiões encontradas: o disco fechado de raio
e a faixa vertical
. Em notação:
Uma descrição útil para esboço e para usar na prova: fixando
com
, a variável
varia entre
Exemplos concretos para intuição: para
temos
; para
temos
pois
.
Passo 6
Pontos de fronteira e interseções importantes (úteis no esboço): as retas
cortam o círculo
nos pontos que satisfazem
, ou seja
. Logo os pontos
e
são vértices da curva limite da região. A região inclui a fronteira (é fechada) porque as desigualdades são não estritas.
Passo 7
Como fazer o esboço (passo a passo prático):
- Desenhe o círculo centrado em
de raio (equação ). - Desenhe as retas verticais
e . - Sombreie apenas a parte do disco que fica entre essas duas retas. Esse sombreado é o domínio.
Marque os pontos de interseçãopara referência.