Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio e fazer um esboço do domínio da função
f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}.
Informações dadas relevantes:
\text{A função é a soma de duas raízes quadradas: }\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\text{ e }\sqrt{1-x^{2}}.çãéí
Perguntas explícitas que devo responder:
  1. Quais são os pares (x,y) para os quais f(x,y) está bem definida (domínio)?
  2. Como esboçar geometricamente esse conjunto no plano (x,y)?

Passo 2

Princípio básico que usamos: para a raiz quadrada real estar definida precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter simultaneamente
4-x^{2}-y^{2}\ge 0
e
1-x^{2}\ge 0.
Essas duas desigualdades são as condições necessárias e suficientes para que f(x,y) seja um número real.

Passo 3

Analiso a primeira desigualdade
4-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Reescrevendo:
x^{2}+y^{2}\le 4.
Esta é a equação conhecida de um disco fechado centrado na origem com raio 2: todos os pontos do plano cuja distância ao centro (0,0) é menor ou igual a 2.

Passo 4

Agora a segunda desigualdade:
1-x^{2}\ge 0.
Reescrevendo:
x^{2}\le 1,
o que equivale a
-1\le x\le 1.
Geometricamente isto é uma faixa vertical (um “strip”) do plano limitada pelas retas verticais x=-1 e x=1.

Passo 5

O domínio é a interseção das duas regiões encontradas: o disco fechado de raio 2 e a faixa vertical |x|\le 1. Em notação:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; -1\le x\le 1\}.
Uma descrição útil para esboço e para usar na prova: fixando x com |x|\le 1, a variável y varia entre
-\sqrt{4-x^{2}}\quad\text{e}\quad \sqrt{4-x^{2}}.
Exemplos concretos para intuição: para x=0 temos y\in[-2,2]; para x=1 temos y\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}] pois 4-1=3.

Passo 6

Pontos de fronteira e interseções importantes (úteis no esboço): as retas x=\pm1 cortam o círculo x^{2}+y^{2}=4 nos pontos que satisfazem 1+y^{2}=4, ou seja y=\pm\sqrt{3}. Logo os pontos (1,\pm\sqrt{3}) e (-1,\pm\sqrt{3}) são vértices da curva limite da região. A região inclui a fronteira (é fechada) porque as desigualdades são não estritas.

Passo 7

Como fazer o esboço (passo a passo prático):
  1. Desenhe o círculo centrado em (0,0) de raio 2 (equação x^{2}+y^{2}=4).
  2. Desenhe as retas verticais x=-1 e x=1.
  3. Sombreie apenas a parte do disco que fica entre essas duas retas. Esse sombreado é o domínio.
    Marque os pontos de interseção (\pm1,\pm\sqrt{3}) para referência.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\\ -1\le x\le 1\}
\text{equivalentemente, }D=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\\\ -\sqrt{4-x^{2}}\le y\le \sqrt{4-x^{2}}\}

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