Determine se as sequéncias abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se eristir, usando as propriedades de limites.
4.
4.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede para determinar se a sequência é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações dadas: o termo geral é para
natural (isto é,
).
Pergunta explícita: a sequência converge? Qual é , se existir?
Informações dadas: o termo geral é
Pergunta explícita: a sequência converge? Qual é
Passo 2
Vamos simplificar a expressão para entender o comportamento quando
fica grande. Note que tanto o numerador quanto o denominador têm fatores em
. Podemos dividir numerador e denominador pelo mesmo fator para comparar ordens de grandeza. Dividindo por
(o maior fator comum que simplifica a forma) obtemos:
Expliquei: fatoramos
no denominador e cancelamos um
com o numerador, resultando em
.
Passo 3
Agora analiso cada parte quando
:
- Sabemos que
. (Porque fica cada vez menor.) - Então o denominador tende a
, isto é,
- O numerador
tende a quando .
Passo 4
Vou usar uma propriedade de limites bastante intuitiva e útil: se
e
com
, então
. Aqui:
-
e ; -
e .
Portanto pela propriedade acima, a razãodeve tender a .
Passo 5
Para tornar a argumentação ainda mais direta e completamente elementar, faço uma desigualdade simples que serve como prova por comparação. Para todo
temos
, então
A partir disso:
Como
, pela comparação (sequência maior ou igual a outra que vai para
) concluímos que
.
Passo 6
Para ser totalmente formal sobre o significado de "tende a
" (ou seja, diverge para infinito): dado qualquer número real
, escolha
. Se
então
e, por
, segue
. Isso mostra que para todo
existe
tal que
para todo
, que é exatamente a definição de
.
Passo 7
Um cheque de sanidade com valores numéricos (intuição):
,
,
. Vê-se que os termos crescem sem limite superior.
Passo 8
Conclusão didática e encorajamento: a razão principal é que o numerador cresce como
e o denominador cresce somente como
, então a fração cresce como uma quantidade proporcional a
(a simplificação mostrou
). Quando a parte que cresce no numerador domina, a sequência vai para
. Bom trabalho por encarar isso — a ideia de comparar ordens de grandeza (graus de polinômios) é uma ferramenta que aparece muito nas provas.
Resposta
A sequência diverge e
.