Determine se as sequéncias abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se eristir, usando as propriedades de limites.
4.
a_{n}=\frac{n^{2}}{3 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral
a_{n}=\frac{n^{2}}{3 n+1}
e pede para determinar se a sequência é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações dadas: o termo geral é \;a_{n}=\dfrac{n^{2}}{3n+1}\; para n natural (isto é, n\to\infty).
Pergunta explícita: a sequência converge? Qual é \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}, se existir?

Passo 2

Vamos simplificar a expressão para entender o comportamento quando n fica grande. Note que tanto o numerador quanto o denominador têm fatores em n. Podemos dividir numerador e denominador pelo mesmo fator para comparar ordens de grandeza. Dividindo por n (o maior fator comum que simplifica a forma) obtemos:
a_{n}=\frac{n^{2}}{3n+1}=\frac{n\cdot n}{n(3+1/n)}=\frac{n}{3+\dfrac{1}{n}}.
Expliquei: fatoramos n no denominador e cancelamos um n com o numerador, resultando em \dfrac{n}{3+1/n}.

Passo 3

Agora analiso cada parte quando n\to\infty:
  • Sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0. (Porque 1/n fica cada vez menor.)
  • Então o denominador tende a 3+0=3, isto é,
\lim_{n\to\infty}\left(3+\dfrac{1}{n}\right)=3.
  • O numerador \;n\; tende a +\infty quando n\to\infty.

Passo 4

Vou usar uma propriedade de limites bastante intuitiva e útil: se \;x_{n}\to+\infty\; e \;y_{n}\to y com y>0, então \;x_{n}/y_{n}\to+\infty. Aqui:
  • x_{n}=n e x_{n}\to+\infty;
  • y_{n}=3+\dfrac{1}{n} e y_{n}\to 3>0.
    Portanto pela propriedade acima, a razão \dfrac{n}{3+1/n} deve tender a +\infty.

Passo 5

Para tornar a argumentação ainda mais direta e completamente elementar, faço uma desigualdade simples que serve como prova por comparação. Para todo n\ge 1 temos \dfrac{1}{n}\le 1, então
3+\dfrac{1}{n}\le 3+1=4.
A partir disso:
a_{n}=\frac{n}{3+\dfrac{1}{n}}\ge \frac{n}{4}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{4}=+\infty, pela comparação (sequência maior ou igual a outra que vai para +\infty) concluímos que a_{n}\to +\infty.

Passo 6

Para ser totalmente formal sobre o significado de "tende a +\infty" (ou seja, diverge para infinito): dado qualquer número real M>0, escolha N=\lfloor 4M\rfloor+1. Se n\ge N então n>4M e, por \;a_n\ge n/4\;, segue a_n> M. Isso mostra que para todo M existe N tal que a_n>M para todo n\ge N, que é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty} a_n=+\infty.

Passo 7

Um cheque de sanidade com valores numéricos (intuição):
\;a_{1}=1/(3+1)=1/4=0,25, \;a_{10}=100/(30+1)=100/31\approx 3{,}225, \;a_{100}=10000/(300+1)\approx 33{,}22. Vê-se que os termos crescem sem limite superior.

Passo 8

Conclusão didática e encorajamento: a razão principal é que o numerador cresce como n^{2} e o denominador cresce somente como n, então a fração cresce como uma quantidade proporcional a n (a simplificação mostrou \dfrac{n}{3+1/n}). Quando a parte que cresce no numerador domina, a sequência vai para +\infty. Bom trabalho por encarar isso — a ideia de comparar ordens de grandeza (graus de polinômios) é uma ferramenta que aparece muito nas provas.

Resposta

A sequência diverge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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