Determine uma familia de soluções das EDOs abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para determinar uma família de soluções. Ou seja, encontrar todas as funções
(dependendo de uma constante arbitrária) que satisfazem essa igualdade em algum intervalo de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
com , e . - Espera-se uma família de soluções (portanto haverá uma constante de integração).
- A solução explícita provavelmente exigirá separar variáveis ou reconhecer uma derivada conhecida.
Passo 2
Observação e estratégia (explicação didática do método de separação de variáveis).
- Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma
, de modo que todos os termos em ficam multiplicando e todos os termos em ficam multiplicando . Então integra-se cada lado em relação à sua variável. - Aqui temos
. Vou manipular algebricamente para colocar em forma separável.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora as variáveis estão separadas: lado esquerdo depende só de
(com
) e lado direito só de
(com
).
Passo 3
Integração dos dois lados (mostrar passo a passo das integrais).
Integrar ambos os lados em relação à sua variável:
Integrar ambos os lados em relação à sua variável:
Calcule a integral do lado esquerdo:
onde
é uma constante de integração (vou absorver constantes depois).
Agora a integral do lado direito precisa de atenção. Há duas maneiras pedagógicas de ver essa integral:
- Reconhecer que a derivada de
é , então é (até constante) a derivada de . - Ou fazer a substituição
, .
Usando substituição: tome
então
, logo
. Então
Passo 4
Igualando as integrais e organizando as constantes.
Juntando os resultados das integrais:
Juntando os resultados das integrais:
Subtrair
e combinar
numa única constante arbitrária
(qualquer constante real) dá
Multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária real. Para simplicidade, renomeio
novamente como
. Então a forma implícita da família de soluções é
Passo 5
Obter solução explícita e comentar domínio e sinais.
Da relação segue que, quando
, podemos tomar raiz quadrada:
Da relação
Observações importantes que ajudam na prova e em interpretação:
- A constante
é arbitrária e real; a escolha de sinal ou depende de uma condição inicial (ou da continuidade desejada da solução). - Para valores de
onde não existe solução real dada por essa expressão; portanto a solução real está definida nos intervalos onde . - Não existe uma solução identicamente nula
para todos os , porque se o lado direito não está definido (divisão por zero). Assim a forma obtida é a família completa de soluções reais não-identicamente-nulas.