Determine uma familia de soluções das EDOs abaixo:
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y} e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\,e^{x^{2}}
e pede para determinar uma família de soluções. Ou seja, encontrar todas as funções y(x) (dependendo de uma constante arbitrária) que satisfazem essa igualdade em algum intervalo de x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona dy/dx com x, y e e^{x^{2}}.
  • Espera-se uma família de soluções (portanto haverá uma constante de integração).
  • A solução explícita provavelmente exigirá separar variáveis ou reconhecer uma derivada conhecida.

Passo 2

Observação e estratégia (explicação didática do método de separação de variáveis).
  • Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, de modo que todos os termos em y ficam multiplicando dy e todos os termos em x ficam multiplicando dx. Então integra-se cada lado em relação à sua variável.
  • Aqui temos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}e^{x^{2}}. Vou manipular algebricamente para colocar em forma separável.
Multiplicando ambos os lados por y\,dx obtemos
y\,dy = x e^{x^{2}}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: lado esquerdo depende só de y (com dy) e lado direito só de x (com dx).

Passo 3

Integração dos dois lados (mostrar passo a passo das integrais).
Integrar ambos os lados em relação à sua variável:
\int y\,dy = \int x e^{x^{2}}\,dx.
Calcule a integral do lado esquerdo:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (vou absorver constantes depois).
Agora a integral do lado direito precisa de atenção. Há duas maneiras pedagógicas de ver essa integral:
  • Reconhecer que a derivada de x^{2} é 2x, então x e^{x^{2}} é (até constante) a derivada de e^{x^{2}}.
  • Ou fazer a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx.
Usando substituição: tome u=x^{2} então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Então
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}.

Passo 4

Igualando as integrais e organizando as constantes.
Juntando os resultados das integrais:
\frac{y^{2}}{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}.
Subtrair C_{1} e combinar C_{2}-C_{1} numa única constante arbitrária C (qualquer constante real) dá
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C.
Multiplicando por 2:
y^{2} = e^{x^{2}} + C',
onde C' = 2C é outra constante arbitrária real. Para simplicidade, renomeio C' novamente como C. Então a forma implícita da família de soluções é
y^{2} = e^{x^{2}} + C,\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 5

Obter solução explícita e comentar domínio e sinais.
Da relação y^{2}=e^{x^{2}}+C segue que, quando e^{x^{2}}+C\ge 0, podemos tomar raiz quadrada:
y(x)=\pm\sqrt{e^{x^{2}}+C}.
Observações importantes que ajudam na prova e em interpretação:
  • A constante C é arbitrária e real; a escolha de sinal (+) ou (-) depende de uma condição inicial (ou da continuidade desejada da solução).
  • Para valores de x onde e^{x^{2}}+C<0 não existe solução real dada por essa expressão; portanto a solução real está definida nos intervalos onde e^{x^{2}}+C\ge 0.
  • Não existe uma solução identicamente nula y\equiv 0 para todos os x, porque se y\equiv 0 o lado direito \dfrac{x}{y}e^{x^{2}} não está definido (divisão por zero). Assim a forma obtida é a família completa de soluções reais não-identicamente-nulas.

Resposta

y^{2}=e^{x^{2}}+C,\; C\in\mathbb{R}
y(x)=\pm\sqrt{e^{x^{2}}+C},\; C\in\mathbb{R}

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