Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{x} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{x} f(x, y)\,dy\right]dx.
Informações dadas:
  • A variável externa (primeiro limite) é x com 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, a variável interna y varia entre y=x^{2} (limite inferior) e y=x (limite superior).
  • A função integranda é f(x,y) (sem condição extra dada).
    A tarefa é reescrever a integral como uma integral do tipo \displaystyle \int_{y=\text{?}}^{\text{?}}\!\!\left[\int_{x=\text{?}}^{\text{?}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Passo 2

Entender geometricamente a região de integração facilita trocar a ordem. A região R no plano (x,y) é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; x^{2}\le y\le x\}.
Isso significa: para cada x entre 0 e 1, y fica entre a curva y=x^{2} (parábola) e a reta y=x.

Passo 3

Determinar os pontos de interseção das curvas que limitam R. Resolver x^{2}=x:
x^{2}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0,
logo as interseções são x=0 e x=1. Nessas abscissas, y vale respectivamente 0 e 1. Portanto a região fica entre y=0 e y=1.

Passo 4

Projeto da região sobre o eixo y: como a região vai de y=x^{2} até y=x com x entre 0 e 1, o menor y possível é 0 (em x=0) e o maior é 1 (em x=1). Logo o novo intervalo para y será
0\le y\le 1.

Passo 5

Para trocar a ordem precisamos, para cada y fixo em [0,1], encontrar o intervalo de x que satisfaz simultaneamente
x^{2}\le y \quad\text{e}\quad y\le x,
com x também restrito a [0,1].

Passo 6

Resolver as desigualdades para x em função de y:
  • y\le x implica x\ge y.
  • x^{2}\le y implica x\le \sqrt{y} (como estamos em x\ge0, descartamos a raiz negativa).
    Juntando as duas condições obtemos
y \le x \le \sqrt{y}.
Devemos checar se essa desigualdade é consistente (isto é, se y\le\sqrt{y}). Para 0\le y\le1 tem-se \sqrt{y}\ge y, então o intervalo [y,\sqrt{y}] é válido para todo y em [0,1].

Passo 7

Conclusão: ao inverter a ordem de integração, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de x=y até x=\sqrt{y}. Portanto a integral equivalente é
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy

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