Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
- A variável externa (primeiro limite) é
com . - Para cada
fixo, a variável interna varia entre (limite inferior) e (limite superior). - A função integranda é
(sem condição extra dada).
A tarefa é reescrever a integral como uma integral do tipo.
Passo 2
Entender geometricamente a região de integração facilita trocar a ordem. A região
no plano
é
Isso significa: para cada
entre
e
,
fica entre a curva
(parábola) e a reta
.
Passo 3
Determinar os pontos de interseção das curvas que limitam
. Resolver
:
logo as interseções são
e
. Nessas abscissas,
vale respectivamente
e
. Portanto a região fica entre
e
.
Passo 4
Projeto da região sobre o eixo
: como a região vai de
até
com
entre
e
, o menor
possível é
(em
) e o maior é
(em
). Logo o novo intervalo para
será
Passo 5
Para trocar a ordem precisamos, para cada
fixo em
, encontrar o intervalo de
que satisfaz simultaneamente
com
também restrito a
.
Passo 6
Resolver as desigualdades para
em função de
:
-
implica . -
implica (como estamos em , descartamos a raiz negativa).
Juntando as duas condições obtemos
Devemos checar se essa desigualdade é consistente (isto é, se
). Para
tem-se
, então o intervalo
é válido para todo
em
.
Passo 7
Conclusão: ao inverter a ordem de integração,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Portanto a integral equivalente é