Determine uma familia de soluções das EDOs abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede uma família de soluções (uma expressão que descreva todas as soluções gerais, com a constante de integração). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
com e . - O denominador
anula-se quando ; portanto a expressão dada para não está definida nesses valores de . Isso indica que devemos ter cuidado com domínios onde .
Passo 2
Vamos separar variáveis — ideia: colocar tudo que depende de
multiplicando
e tudo que depende de
multiplicando
. Partindo de
multiplicamos ambos os lados por
(e por convenção assumimos
para fazer isso):
Explicação curta: “separar variáveis” significa reescrever a ODE de forma
, para então integrar cada lado com respeito à sua variável.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Integramos em
à esquerda e em
à direita:
Calculemos as integrais passo a passo:
- À esquerda,
- À direita,
Incluímos uma constante de integração no resultado combinado. Escrevendo as duas integrais com uma única constante arbitrária
, obtemos a forma implícita da família de soluções:
onde
é uma constante real arbitrária que determina uma solução particular.
Passo 4
Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivando implicitamente a relação obtida com respeito a
,
dá
ou seja
que é exatamente a equação original — portanto a integração foi correta.
Passo 5
Observações importantes para a prova e para usar a solução:
- A forma obtida é implícita:
. Em muitos exercícios essa forma é aceitável como família geral de soluções. Resolver explicitamente para exige resolver uma equação cúbica em , que pode ser feito com a fórmula de Cardano (complicado e raramente necessário). - As curvas solução devem evitar pontos onde
, pois aí a expressão original para fica indefinida. Em particular, funções constantes não satisfazem a equação dada (porque substituindo o RHS é indefinido). - Se houver uma condição inicial
(com ), calculamos por
- Exemplo rápido: se tivermos
, então , e a solução implícita fica .