Determine uma familia de soluções das EDOs abaixo:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}
e pede uma família de soluções (uma expressão que descreva todas as soluções gerais, com a constante de integração). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação relaciona y' com x e y.
  • O denominador 1-y^{2} anula-se quando y=\pm1; portanto a expressão dada para y' não está definida nesses valores de y. Isso indica que devemos ter cuidado com domínios onde y=\pm1.

Passo 2

Vamos separar variáveis — ideia: colocar tudo que depende de y multiplicando dy e tudo que depende de x multiplicando dx. Partindo de
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}},
multiplicamos ambos os lados por (1-y^{2})\,dx (e por convenção assumimos y\neq\pm1 para fazer isso):
(1-y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.
Explicação curta: “separar variáveis” significa reescrever a ODE de forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, para então integrar cada lado com respeito à sua variável.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Integramos em y à esquerda e em x à direita:
\int (1-y^{2})\,dy = \int x^{2}\,dx.
Calculemos as integrais passo a passo:
  • À esquerda, \int(1-y^{2})\,dy = \int 1\,dy - \int y^{2}\,dy = y - \dfrac{y^{3}}{3}.
  • À direita, \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.
Incluímos uma constante de integração no resultado combinado. Escrevendo as duas integrais com uma única constante arbitrária C, obtemos a forma implícita da família de soluções:
y - \dfrac{y^{3}}{3} = \dfrac{x^{3}}{3} + C,
onde C é uma constante real arbitrária que determina uma solução particular.

Passo 4

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivando implicitamente a relação obtida com respeito a x,
\frac{d}{dx}\!\left(y - \dfrac{y^{3}}{3}\right) = \frac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3} + C\right)
(1-y^{2})\,\frac{dy}{dx} = x^{2},
ou seja
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{1-y^{2}},
que é exatamente a equação original — portanto a integração foi correta.

Passo 5

Observações importantes para a prova e para usar a solução:
  • A forma obtida é implícita: y - \dfrac{y^{3}}{3} = \dfrac{x^{3}}{3} + C. Em muitos exercícios essa forma é aceitável como família geral de soluções. Resolver explicitamente para y exige resolver uma equação cúbica em y, que pode ser feito com a fórmula de Cardano (complicado e raramente necessário).
  • As curvas solução devem evitar pontos onde y=\pm1, pois aí a expressão original para y' fica indefinida. Em particular, funções constantes y\equiv\pm1 não satisfazem a equação dada (porque substituindo y=\pm1 o RHS é indefinido).
  • Se houver uma condição inicial y(x_{0})=y_{0} (com y_{0}\neq\pm1), calculamos C por
C = y_{0} - \dfrac{y_{0}^{3}}{3} - \dfrac{x_{0}^{3}}{3}.
  • Exemplo rápido: se tivermos y(0)=0, então C = 0-0 - 0 = 0, e a solução implícita fica y - \dfrac{y^{3}}{3} = \dfrac{x^{3}}{3}.

Resposta

y - \dfrac{y^{3}}{3} = \dfrac{x^{3}}{3} + C

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