Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais:
v(t)=120 \operatorname{sen}\left(10 t-50^{\circ}\right) \mathrm{V}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: é pedido determinar os fasores correspondentes ao sinal
v(t)=120\,\operatorname{sen}\!\left(10\,t-50^{\circ}\right)\\ \mathrm{V}.
Informações explícitas dadas:
  • amplitude de pico =120 (unidade: volts);
  • pulsação \omega=10 (unidade: rad/s);
  • deslocamento de fase \varphi=-50^{\circ}.
    Pergunta implícita: apresentar o(s) fasor(es) que representam esse sinal (vou mostrar as formas mais comuns: fasor no referencial cosseno, fasor no referencial seno, e suas versões em pico e em valor eficaz/RMS).

Passo 2

O que é um fasor (aula rápida e sem jargão): um fasor é uma forma compacta de representar uma senoide de regime permanente como um número complexo que carrega magnitude e fase, desprezando a dependência temporal e^{j\omega t}. Formalmente, se você usa a referência cosseno, uma senoide
v(t)=V_m\cos(\omega t+\theta)
corresponde ao fasor (pico) \tilde{V}=V_m\angle\theta. Se você prefere trabalhar com valores eficazes (RMS), o fasor é
V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}\angle\theta.
Aqui: V_m é a amplitude de pico, \omega é a pulsação e \theta é a fase em graus. Importante: escolha consistente da referência (cosseno é a convenção mais usada); se você mantiver a referência seno, o ângulo do fasor fica diferente (vejo isso adiante).

Passo 3

Converter a função dada para a forma em cosseno (porque a convenção de fasor usada abaixo será a cosseno). Usamos a identidade trigonométrica
\sin(\alpha)=\cos\!\left(\alpha-90^\circ\right).
Aplicando ao sinal:
v(t)=120\sin(10t-50^\circ)=120\cos\!\big(10t-50^\circ-90^\circ\big)=120\cos(10t-140^\circ).
Conclusão dessa etapa: o mesmo sinal escrito como cosseno tem fase -140^\circ e amplitude de pico 120.

Passo 4

Fasor no formato “pico” usando referência cosseno: como o sinal é 120\cos(10t-140^\circ), o fasor (amplitude de pico) é
\tilde{V}=120\angle -140^\circ\\ \text{V (pico)}.
Explicando a notação: 120\angle -140^\circ significa um número complexo com magnitude 120 e argumento -140^\circ. É esse número que multiplicado por e^{j\omega t} e tomando a parte real reconstrói v(t).

Passo 5

Fasor na forma eficaz (RMS): para obter o valor eficaz divide-se a magnitude de pico por \sqrt{2}. Cálculo simbólico e numérico:
V_{\text{rms}}=\frac{120}{\sqrt{2}}=60\sqrt{2}\\ \text{V}\approx 84,85\\ \text{V}.
Portanto o fasor eficaz (referência cosseno) é
V_{\text{rms}}=60\sqrt{2}\angle -140^\circ \\ \text{V (RMS)}
ou, numericamente,
V_{\text{rms}}\approx 84,85\angle -140^\circ\\ \text{V (RMS)}.

Passo 6

Fasor se você optar por manter a referência seno (existem textos/engenheiros que usam essa convenção): nesse caso não é preciso subtrair 90^\circ. O sinal original é 120\sin(10t-50^\circ), logo o fasor (pico) na convenção seno seria
\tilde{V}_{\text{seno}}=120\angle -50^\circ\\ \text{V (pico)},
e a versão RMS é
V_{\text{rms,seno}}=60\sqrt{2}\angle -50^\circ\\ \text{V (RMS)}\approx 84,85\angle -50^\circ\\ \text{V (RMS)}.
Obs.: escolha uma convenção e use-a consistentemente em cálculos com impedâncias, somas de fasores etc.

Passo 7

Verificação prática (como usar o fasor para voltar ao tempo): se você tem V_{\text{rms}}=60\sqrt{2}\angle -140^\circ, a senoide correspondente (com referência cosseno) é
v(t)=\sqrt{2}\, \Re\{V_{\text{rms}}\,e^{j\omega t}\}=\sqrt{2}\cdot 60\sqrt{2}\cos(10t-140^\circ)=120\cos(10t-140^\circ),
que é algebraicamente igual a 120\sin(10t-50^\circ) — portanto está coerente.

Resposta

\tilde{V}=120\angle -140^\circ\\ \text{V (pico, referência cosseno)}ê
V_{\text{rms}}=60\sqrt{2}\angle -140^\circ\\ \text{V (RMS, referência cosseno)}ê
\tilde{V}_{\text{seno}}=120\angle -50^\circ\\ \text{V (pico, referência seno)}ê
V_{\text{rms,seno}}=60\sqrt{2}\angle -50^\circ\\ \text{V (RMS, referência seno)}ê

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