Dado v_{1}=45 \operatorname{sen}\left(\omega t+30^{\circ}\right) V e v_{2}=50 \cos \left(\omega t-30^{\circ}\right) \mathrm{V}, determine o ângulo de fase entre as duas senoides e indique qual delas está atrasada em relação a outra.

Passo 1

O enunciado dá duas tensões senoidais e pede duas coisas: (1) o ângulo de fase entre elas e (2) qual das duas está atrasada (ou, equivalentemente, qual está adiantada). As informações fornecidas são:
v_{1}=45\\ \operatorname{sen}\!\left(\omega t+30^{\circ}\right)\\ \text{V}
v_{2}=50\\ \cos\!\left(\omega t-30^{\circ}\right)\\ \text{V}
Aqui temos as amplitudes ( 45 V e 50 V) e as expressões angulares dentro das funções trigonométricas ( +30^\circ em v_1 e -30^\circ em v_2, observando que v_2 está em cosseno). O objetivo é comparar as fases angulares dessas duas senóides para obter a diferença de fase e decidir qual está atrasada.

Passo 2

Por que precisamos escrever as duas no mesmo tipo (seno ou cosseno)? Porque “fase” só é comparável diretamente quando usamos a mesma função base (por exemplo, ambas em \sin ou ambas em \cos). Temos identidades trigonométricas úteis:
\cos(\theta)=\sin\!\bigl(\theta+90^{\circ}\bigr) \qquad\text{e}\qquad \sin(\theta)=\cos\!\bigl(\theta-90^{\circ}\bigr).
Essas identidades vêm do deslocamento de 90^\circ entre seno e cosseno. Vamos usar a primeira para transformar v_2 em seno, porque v_1 já está em seno.

Passo 3

Aplicando a identidade \cos(\theta)=\sin(\theta+90^\circ) a v_2:
v_{2}=50\cos\!\left(\omega t-30^{\circ}\right)=50\sin\!\bigl(\omega t-30^{\circ}+90^{\circ}\bigr).
Calcule o ângulo dentro do seno:
-30^{\circ}+90^{\circ}=60^{\circ}.
Logo:
v_{2}=50\sin\!\left(\omega t+60^{\circ}\right)\\ \text{V}.

Passo 4

Agora temos ambas em função seno, prontas para comparar as fases:
v_{1}=45\sin\!\left(\omega t+30^{\circ}\right)\quad\text{(fase }+30^{\circ}\text{)}
v_{2}=50\sin\!\left(\omega t+60^{\circ}\right)\quad\text{(fase }+60^{\circ}\text{)}
A diferença de fase (ângulo entre as duas) é o valor absoluto da diferença entre as fases:
\Delta\varphi=\bigl|60^{\circ}-30^{\circ}\bigr|=30^{\circ}.
Isto significa que as duas senóides estão separadas por 30^\circ.

Passo 5

Como determinar qual está atrasada (ou adiantada)? Regra prática: para sinais com mesma frequência, o que tem maior ângulo de fase atinge um mesmo ponto do ciclo antes no tempo — dizemos que ele “está adiantado” (leads). O que tem menor ângulo de fase está “atrasado” (lags). Aqui \;60^{\circ}>30^{\circ}\;, portanto v_{2} está adiantada em relação a v_{1} por 30^{\circ}, ou, equivalente e mais pedido no enunciado, v_{1} está atrasada em relação a v_{2} por 30^{\circ}.

Passo 6

(Mini-exemplo extra para fixar) Se você preferir trabalhar com cossenos, converta v_1 para cosseno usando \sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ):
v_{1}=45\sin(\omega t+30^\circ)=45\cos(\omega t+30^\circ-90^\circ)=45\cos(\omega t-60^\circ).
E v_2=50\cos(\omega t-30^\circ). As fases em cosseno seriam -60^\circ (para v_1) e -30^\circ (para v_2); a diferença continua 30^\circ e, como -30^\circ > -60^\circ, v_2 leva v_1. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

30^\circ
v_{1} está atrasada (lags) em relação a v_{2} por 30^\circ.

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