Determine o fator de correção de energia cinética se: (a)
em uma tubulação de 2 cm de diâmetro. (b)
um canal com 2 cm de altura.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente achar o fator de correção de energia cinética (α) pra dois perfis de velocidade bem conhecidos em escoamentos laminares:
(a) num tubo (diâmetro 2 cm) com
(b) num canal (altura 2 cm) com
Conteúdo: mecânica dos fluidos, integração de perfil de velocidade pra achar velocidade média e o termo
. Pra resolver a gente vai usar:
(a) num tubo (diâmetro 2 cm) com
(b) num canal (altura 2 cm) com
Conteúdo: mecânica dos fluidos, integração de perfil de velocidade pra achar velocidade média
- Definição de
- Definição de
- Integrais em coordenadas cilíndricas (caso do tubo) e retangulares (caso do canal).
Passo 2
Teoria central:
– A velocidade média é a razão entre a vazão real (
) e a área da seção (
).
– A velocidade média
– O fator de correção de energia cinética mede quanto o termo
Vamos calcular essas duas integrais em cada caso e depois montar
.
Passo 3
Caso (a) – Tubo cilíndrico de raio
.
- Área
. - Velocidade média:
$$U=\frac1{\pi R2}\int_{0}{2\pi}!!\int_{0}^{R} u®,r,dr,d\theta
=\frac{2}{R2}\int_{0}{R}10\Bigl(1-\frac{r2}{R2}\Bigr)r,dr.
\int_{0}{R}\Bigl(1-\tfrac{r2}{R^2}\Bigr)r,dr
=\Bigl[\tfrac12r2-\tfrac14\tfrac{r4}{R2}\Bigr]_0R
=\tfrac14R^2.
U=\frac{2}{R2};10;\frac{R2}{4}=5\quad(m/s).$$
- Integral de
:
com
. E
, então
4) Montando
$$\alpha=\frac{250\pi R2}{U3,\pi R^2}
=\frac{250}{5^3}=2.$$
Passo 4
Caso (b) – Canal de altura total
(logo
), largura unitária (cancela).
- Área
. - Velocidade média:
- Integral de
(a largura cancela no quociente):
onde
. E
Logo
4) Montando
$$\alpha
=\frac{1000,h;\tfrac{32}{35}}{\bigl(\tfrac{20}{3}\bigr)^3,(2h)}
=\frac{1000\cdot\tfrac{32}{35}}{\tfrac{8000}{27}\cdot2}
=\frac{1000\cdot\tfrac{32}{35}}{\tfrac{8000}{27}\cdot2}
=\frac{54}{35}\approx1{,}543.$$
Resposta
(a)
(b)
(b)