Determine o fator de correção de energia cinética se: (a) u(r)=10(1-r^2 / R^2) em uma tubulação de 2 cm de diâmetro. (b) u(y)=10(1-y^2 / h^2) em um canal com 2 cm de altura.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente achar o fator de correção de energia cinética (α) pra dois perfis de velocidade bem conhecidos em escoamentos laminares:
(a) num tubo (diâmetro 2 cm) com u(r)=10l(1-r^2R^2r)
(b) num canal (altura 2 cm) com u(y)=10l(1-y^2h^2r)
Conteúdo: mecânica dos fluidos, integração de perfil de velocidade pra achar velocidade média U e o termo integral u^3,dA. Pra resolver a gente vai usar:
  1. Definição de U=1AintegralA u,dA
  2. Definição de alpha=integralA u^3,dAU^3,A
  3. Integrais em coordenadas cilíndricas (caso do tubo) e retangulares (caso do canal).

Passo 2

Teoria central:
– A velocidade média U é a razão entre a vazão real ( integral u,dA) e a área da seção ( A).
U ;=;1AintegralA u,dA
– O fator de correção de energia cinética mede quanto o termo 12rho U^2 evalua de fato o transporte de energia cinética, e fica
alpha ;=;integralA u^3,dA U^3,A,
Vamos calcular essas duas integrais em cada caso e depois montar alpha.

Passo 3

Caso (a) – Tubo cilíndrico de raio R=1 cm.
  1. Área ;A=pi R^2.
  2. Velocidade média:
$$U=\frac1{\pi R2}\int_{0}{2\pi}!!\int_{0}^{R} u®,r,dr,d\theta
=\frac{2}{R2}\int_{0}{R}10\Bigl(1-\frac{r2}{R2}\Bigr)r,dr. U=1pi R^2integral0^2pi!!integral0^R u(r),r,dr,dtheta =2R^2integral0^R10l(1-r^2R^2r)r,dr\int_{0}{R}\Bigl(1-\tfrac{r2}{R^2}\Bigr)r,dr
=\Bigl[\tfrac12r2-\tfrac14\tfrac{r4}{R2}\Bigr]_0R
=\tfrac14R^2. integral0^Rl(1-tfracr^2R^2r)r,dr =l[tfrac12r^2-tfrac14tfracr^4R^2r]0^R =tfrac14R^2U=\frac{2}{R2};10;\frac{R2}{4}=5\quad(m/s).$$
  1. Integral de U=2R^2;10;R^24=5(m/s):
u^3
com integralA u^3,dA =2piintegral0^Rl[10(1-tfracr^2R^2)r]^3r,dr =2picdot10^3 R^2!integral0^1(1-x^2)^3x,dx,. E x=r/R, então
integral0^1(1-x^2)^3x,dx=tfrac18
4) Montando integralA u^3,dA=2picdot1000,R^2cdottfrac18=250pi R^2:
$$\alpha=\frac{250\pi R2}{U3,\pi R^2}
=\frac{250}{5^3}=2.$$

Passo 4

Caso (b) – Canal de altura total 2h=2 cm (logo h=1 cm), largura unitária (cancela).
  1. Área ;A=2hcdot1=2h.
  2. Velocidade média:
U=12hintegral-h^h10l(1-tfracy^2h^2r)dy =102hl[2h-tfrac2h^33h^2r] =102hcdot4h3 =203,
  1. Integral de u^3 (a largura cancela no quociente):
integralA u^3,dA =1000integral-h^hl(1-tfracy^2h^2r)^3dy =1000,hintegral-1^1(1-eta^2)^3deta,
onde eta=y/h. E
integral-1^1(1-eta^2)^3deta =2-2+tfrac65-tfrac27 =tfrac3235
Logo
integralA u^3,dA=1000,hcdottfrac3235
4) Montando alpha:
$$\alpha
=\frac{1000,h;\tfrac{32}{35}}{\bigl(\tfrac{20}{3}\bigr)^3,(2h)}
=\frac{1000\cdot\tfrac{32}{35}}{\tfrac{8000}{27}\cdot2}
=\frac{54}{35}\approx1{,}543.$$

Resposta

(a) alpha=2
(b) alpha=5435approx1,54

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