Determine o fator integrante que tornará, em cada item, uma edo exata. Em seguida, verifique as condições para que esta nova edo seja uma edo exata (fique à vontade em resolver a edo daí em diante):
Passo 1
Vamos analisar a EDO
. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes: para resolver, vamos primeiro testar exatidão usando as derivadas parciais, depois buscar um fator integrante
ou
.
Passo 2
Identificamos:
M(x,y) = 3xy + y^2 e N(x,y) = x^2 + xy.
Para que a EDO seja exata, precisamos ter:
M(x,y) = 3xy + y^2 e N(x,y) = x^2 + xy.
Para que a EDO seja exata, precisamos ter:
Calculando:
Como
, a equação original não é exata.
Passo 3
Para procurar um fator integrante que dependa só de
, usamos a condição teórica:
deve ser função apenas de
.
Nesse caso:
Nesse caso:
Logo encontramos:
Passo 4
Multiplicando a EDO original por
, ficamos com:
Agora definimos:
E checamos exatidão:
que são iguais, confirmando que a EDO multiplicada por
é exata.
Passo 5
Para resolver a equação exata, buscamos uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora igualamos
a
:
o que implica
. Logo
e
Resposta
O fator integrante é
. A solução geral implícita da equação é