Determine o fator integrante que tornará, em cada item, uma edo exata. Em seguida, verifique as condições para que esta nova edo seja uma edo exata (fique à vontade em resolver a edo daí em diante):
(3 x y+y^2) d x+(x^2+x y) d y=0

Passo 1

Vamos analisar a EDO (3xy + y^2),dx + (x^2 + xy),dy = 0. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes: para resolver, vamos primeiro testar exatidão usando as derivadas parciais, depois buscar um fator integrante mu(x) ou mu(y).

Passo 2

Identificamos:
M(x,y) = 3xy + y^2 e N(x,y) = x^2 + xy.
Para que a EDO seja exata, precisamos ter:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y = 3x + 2y,
partial Npartial x = 2x + y
Como 3x+2y neq 2x+y, a equação original não é exata.

Passo 3

Para procurar um fator integrante que dependa só de x, usamos a condição teórica:
partial Mpartial y - partial Npartial xN
deve ser função apenas de x.
Nesse caso:
(3x+2y)-(2x+y)x^2+xy = x+yx(x+y) = 1x
Logo encontramos:
mu(x) = e^integral 1x,dx = x

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu(x)=x, ficamos com:
(3x^2y + xy^2),dx + (x^3 + x^2y),dy = 0
Agora definimos:
widetilde M(x,y) = 3x^2y + xy^2,
widetilde N(x,y) = x^3 + x^2y
E checamos exatidão:
partial widetilde Mpartial y = 3x^2 + 2xy,
partial widetilde Npartial x = 3x^2 + 2xy,
que são iguais, confirmando que a EDO multiplicada por x é exata.

Passo 5

Para resolver a equação exata, buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que:
partial psipartial x = widetilde M = 3x^2y + xy^2
Integrando em relação a x:
psi(x,y) = integral (3x^2y + xy^2),dx = x^3y + x^2y^22 + h(y)
Agora igualamos partialpsi/partial y a widetilde N:
partial psipartial y = x^3 + x^2y + h'(y) = x^3 + x^2y,
o que implica h'(y)=0. Logo h(y)=C e
psi(x,y) = x^3y + x^2y^22 = C

Resposta

O fator integrante é mu(x)=x. A solução geral implícita da equação é
x^3y + x^2y^22 = C

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