Determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
d) F(x, y, z) = x^2 i + y^2 j + z^2 k, S é a fronteira do semicilindro sólido 0 <= z <= raiz(1 - y^2), 0 <= x <= 2.2 pi + 8/3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . Essa superfície é a fronteira de um sólido que parece um semicilindro, limitado pelas condições e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com uma integral sobre o volume limitado por essa superfície. Então, precisamos calcular a divergência de e integrar isso sobre o volume do semicilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de através de é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :
Isso simplifica bastante nosso trabalho, porque ao invés de integrar sobre a superfície, integramos sobre o volume.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos integrar sobre o volume do semicilindro. Vamos entender os limites de integração:
  • varia de a
  • e estão limitados pela condição , o que representa a parte superior de um cilindro de raio 1 no plano .
Isso sugere que em coordenadas cilindricas, onde e , com de a e de a (porque é um semicilindro).

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Em coordenadas cilíndricas:
Os limites de integração são:
  • de a
  • de a
  • de a

Passo 7

Substituindo em coordenadas cilíndricas:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos separar a integral em três partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 9

Primeira parte:
Integrando em :
Agora, integra em :
E finalmente em :

Passo 10

Segunda parte:
Integrando em :
Integra em :
Então, toda essa parte é zero.

Passo 11

Terceira parte:
Integrando em :
Integra em :
E em :

Passo 12

Agora, somando todas as partes:
Vamos simplificar isso.

Passo 13

Calculando :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 14

Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

O fluxo de através da superfície é aproximadamente:

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