Determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
d)
,
é a fronteira do semicilindro sólido
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Essa superfície é a fronteira de um sólido que parece um semicilindro, limitado pelas condições
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com uma integral sobre o volume limitado por essa superfície. Então, precisamos calcular a divergência de
e integrar isso sobre o volume do semicilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede quanto do campo está “passando” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de
através de
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Isso simplifica bastante nosso trabalho, porque ao invés de integrar sobre a superfície, integramos sobre o volume.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos integrar
sobre o volume do semicilindro. Vamos entender os limites de integração:
-
varia de a -
e estão limitados pela condição , o que representa a parte superior de um cilindro de raio 1 no plano .
Isso sugere que em coordenadas cilindricas, onde
e
, com
de
a
e
de
a
(porque é um semicilindro).
Passo 6
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Em coordenadas cilíndricas:
Os limites de integração são:
-
de a -
de a -
de a
Passo 7
Substituindo
em coordenadas cilíndricas:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos separar a integral em três partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 9
Primeira parte:
Integrando em
:
Agora, integra em
:
E finalmente em
:
Passo 10
Segunda parte:
Integrando em
:
Integra em
:
Então, toda essa parte é zero.
Passo 11
Terceira parte:
Integrando em
:
Integra em
:
E em
:
Passo 12
Agora, somando todas as partes:
Vamos simplificar isso.
Passo 13
Calculando
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 14
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é aproximadamente: