Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por: y = 3 + 2 x - x^2 ; x + y = 3, em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método da casca cilíndrica para encontrar o volume do sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos identificar onde as curvas se interceptam, configurar a integral usando o método das cascas e, por fim, calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber os limites de integração. Temos:
Igualando as duas expressões para :
Vamos resolver essa equação:
Fatorando:
Então, ou .
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral usando o método da casca cilíndrica. Esse método é útil quando estamos girando em torno do eixo , e a gente integra em termos de .
A fórmula para o volume usando cascas cilíndicas é:
Aqui:
  • é a distância da casca ao eixo de rotação (eixo ), que no nosso caso é apenas .
  • e são as funções que definem a altura da casca. Precisamos identificar qual função está por cima na região de integração.
Vamos ver qual função está acima entre e :
Para :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula:
Simplificando dentro do parêntese:
Então, a integral fica:
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de a :
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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