Determine a força de arrasto atuante sobre um cilindro liso transversal de diâmetro \varphi=50 \mathbf{m m} e comprimento \mathbf{L}=\mathbf{2 m}, submetido a um escoamento de ar a 118 \mathrm{kPa}, 32^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{U}_{\infty}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a força de arrasto para o mesmo escoamento atuando sobre uma placa plana vertical, frontal ao escoamento, de base \mathbf{h = 0 , 5 m} e \mathbf{b = 2 m}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a força de arrasto (drag) em duas situações com o mesmo escoamento de ar:
  • Cilindro liso transversal com diâmetro \varphi=50\\ \mathrm{mm} e comprimento L=2\\ \mathrm{m}.
  • Placa plana vertical, frontal ao escoamento, com base h=0{,}5\\ \mathrm{m} e largura b=2\\ \mathrm{m}.
Condições do escoamento fornecidas:
  • Pressão estática p=118\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura 32^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade livre U_\infty=20\\ \mathrm{m/s}.
Dados constantes que serão usados (valores padrão):
  • Constante dos gases para o ar R=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Constantes de Sutherland para ar: \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, T_0=273{,}15\\ \mathrm{K}, S=110{,}4\\ \mathrm{K}.
Objetivo prático: calcular a força de arrasto F_D em cada corpo, usando a fórmula geral
F_D=\tfrac{1}{2}\,\rho\,U_\infty^2\,A\,C_D,
onde \rho é a densidade do ar, A a área de referência projetada e C_D o coeficiente de arrasto apropriado.

Passo 2

Converter as grandezas e calcular a densidade do ar usando a equação dos gases ideais:
  • p=118\\ \mathrm{kPa}=118000\\ \mathrm{Pa}.
  • T=32^\circ\mathrm{C}=305{,}15\\ \mathrm{K}.
    A fórmula é
\rho=\frac{p}{R\,T}.
Substituindo:
\rho=\frac{118000}{287{,}05\cdot305{,}15}.
Calcule passo a passo:
287{,}05\cdot305{,}15=87593{,}3075, \qquad \rho=\frac{118000}{87593{,}3075}\approx1{,}3476\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Estimativa da viscosidade dinâmica do ar \mu em T=305{,}15\\ \mathrm{K} usando a lei de Sutherland:
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S}.
Substituindo valores:
\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}=\left(\frac{305{,}15}{273{,}15}\right)^{3/2}\approx1{,}181, \quad \frac{T_0+S}{T+S}=\frac{273{,}15+110{,}4}{305{,}15+110{,}4}\approx0{,}923.
Logo
\mu\approx1{,}716\times10^{-5}\cdot1{,}181\cdot0{,}923\approx1{,}87\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds para o cilindro (característico é o diâmetro \varphi). Converter \varphi para metros:
\varphi=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Fórmula do Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_\infty\,\varphi}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}3476\cdot20\cdot0{,}05}{1{,}87\times10^{-5}} =\frac{1{,}3476}{1{,}87\times10^{-5}}\approx7{,}20\times10^{4}.
Comentário didático curto: \mathrm{Re}\approx7{,}2\times10^{4} está na faixa em que o escoamento sobre um cilindro geralmente apresenta separação que gera um coeficiente de arrasto relativamente alto; o comportamento do C_D depende da transição da camada limite, mas para superfície lisa e esse Re é comum adotar C_D aproximadamente da ordem de 1{,}1\text{–}1{,}4.

Passo 5

Escolha do coeficiente de arrasto C_D:
  • Para o cilindro circular liso, em \mathrm{Re} da ordem de 10^{4}\text{–}10^{5} é comum usar C_{D,\mathrm{cil}} \approx 1{,}2 (valor tabulado para cilindro lisa no regime subcrítico). Vou adotar
C_{D,\mathrm{cil}}=1{,}20.
Explicação breve: estes valores vêm de curvas experimentais C_D(\mathrm{Re}) para cilindro; no exame é aceitável usar 1{,}1\text{–}1{,}3 como aproximação quando não houver tabulado preciso.

Passo 6

Calcular a força de arrasto no cilindro.
Área de referência (projetada) do cilindro:
A_{\mathrm{cil}}=\varphi\cdot L=0{,}05\cdot2=0{,}10\\ \mathrm{m^2}.
Pressão dinâmica:
q=\tfrac{1}{2}\,\rho\,U_\infty^2=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}3476\cdot(20)^2 =\tfrac{1}{2}\cdot1{,}3476\cdot400=269{,}512\\ \mathrm{Pa}.
Força de arrasto:
F_{D,\mathrm{cil}}=q\,A_{\mathrm{cil}}\,C_{D,\mathrm{cil}} =269{,}512\cdot0{,}10\cdot1{,}20\approx32{,}34\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Placa plana frontal: área projetada
A_{\mathrm{pla}}=h\cdot b=0{,}5\cdot2=1{,}0\\ \mathrm{m^2}.
Escolha do coeficiente de arrasto para placa plana normal ao escoamento: valores tabulados para placa fina plana normal ao fluxo ficam em torno de C_{D,\mathrm{pla}}\approx1{,}1\text{–}1{,}3. Um valor frequentemente usado é C_{D,\mathrm{pla}}=1{,}28 (valor típico para placa retangular/placa fina frontal). Vou adotar
C_{D,\mathrm{pla}}=1{,}28.

Passo 8

Calcular a força de arrasto na placa:
F_{D,\mathrm{pla}}=q\,A_{\mathrm{pla}}\,C_{D,\mathrm{pla}} =269{,}512\cdot1{,}0\cdot1{,}28\approx345{,}06\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Comentários finais e incertezas (curto e motivador): os valores finais dependem dos coeficientes C_D escolhidos — usei valores típicos experimentais. Em prova, explique qual C_D adotou e justifique (faixa de Re e geometria). Ótimo trabalho por ter trazido um problema prático — já tá ficando domínio do assunto!

Resposta

F_{D,\mathrm{cil}} \approx 32{,}3\\ \mathrm{N}
F_{D,\mathrm{pla}} \approx 345{,}1\\ \mathrm{N}

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